螺旋銑孔主軸單元的動態特性分析
2020-3-6 來源： 東北大學秦皇島分校控制工程學院 作者：張金明 王健宇 王海艷 汪志堅
摘 要: 螺旋銑孔加工過程中，刀具在自轉的基礎上公轉并保持軸向進給，是適合于航空工業典型難加工材料的先進制孔工藝技術。根據螺旋銑孔的加工原理設計了螺旋銑孔專用主軸單元，其典型特征為三轉子、雙偏心結構及具有類似于行星輪系的自轉公轉系統。對修改的整體傳遞矩陣方法建立該主軸單元的動態模型進行研究，分析了主軸單元的固有頻率特性，并通過有限元軟件進行了驗證。采用靈敏度方法對影響主軸動態特性的設計參數進行了分析。結果顯示，軸承跨距、軸承剛度及單元總長度對于主軸單元的動態特性有顯著影響。
關鍵詞: 螺旋銑孔; 主軸; 整體傳遞矩陣; 固有頻率
螺旋銑孔是近幾年出現的適用于航空領域典型難加工材料的先進制孔工藝技術，有著廣泛的應用前景。便攜式螺旋銑孔單元是實現螺旋銑孔加工的有效設備，該單元類似于機床主軸部分，其動態特性對于能否順利實現切削加工起著關鍵作用。
關于機床主軸及電主軸的研究可以為分析螺旋銑孔主軸單元的特性提供指導。Cao 和 Altintas［1－2］使用有限單元理論建立了電主軸的數學模型，并對電主軸進行了優化設計。傳遞矩陣方法( TMM) 是另一種簡單而通用的計算轉子動態特性的方法，無需系統全局動力學公式及降低系統階次，提高了計算效率。矩陣不隨系統自由度的增加而增加，可以在感興趣的任意頻率范圍內獲得固有頻率，因此是解決轉子動力學研究的有效方法［3－4］，主要用于研究軸系、轉子系統的彎曲和扭轉振動。蔣書運［5－6］，孟杰［7］等使用傳遞矩陣方法，建立了主軸或電主軸的動力學模型，研究了高速電主軸的動態特性，同時進行了主軸的動態優化設計。
本文基于螺旋銑孔加工原理設計了螺旋銑孔主軸單元，通過改進的整體傳遞矩陣方法分析了該主軸單元的前四階固有頻率特性，并通過有限元軟件進行了驗證。最后對影響主軸固有頻率特性的相關參數進行了詳細分析。
1 、螺旋銑孔主軸單元的設計
螺旋銑孔的加工原理為: 刀具自轉的基礎上圍繞孔加工中心公轉并保持軸向進給。是一種先進的制孔工藝技術，一把刀具可以加工一系列直徑的孔［8］。基于此加工原理設計了螺旋銑孔主軸單元，如圖 1 所示。該主軸單元由三層轉子結構組成，轉子之間通過滾動軸承傳遞運動，并分別通過旋轉電機連接，無任何附加的傳動件。最外層轉子為大偏心套筒，中間轉子為小偏心套筒及氣動馬達定子，最里層轉子為氣動馬達轉子。其工作原理為: 主軸單元工作前，根據螺旋銑專用刀具直徑及所要加工孔的直徑，通過與小旋轉電動機連接的大小兩偏心套筒的位置調整最終偏心距離( 刀具軸心與孔軸心) ，之后小旋轉電動機鎖定，氣動馬達轉子( 圖中未顯示) 以不超過 5 000 r/min 自轉，同時第二層和第三層轉子由大旋轉電動機的轉子帶動，繞孔中心以 180～300 r/min 做公轉，此外，大旋轉電動機定子與支座連接，支座與進給工作臺或工業機器人相連接，以便實現軸向進給。
2 、基于整體傳遞矩陣方法的螺旋銑主軸單元分析
2. 1 螺旋銑主軸單元的特點
螺旋銑主軸單元整個結構類似于行星輪，多速度多轉子是其典型特征，雙偏心是螺旋銑孔主軸單元的主要特點及技術保證［9］。因此，主軸單元的動態特性分析不同于一般的主軸。對于螺旋銑孔主軸單元，由于雙偏心套筒結構，軸向位置與離散軸段的極慣性矩有關。圖 2 描述了基于傳遞矩陣方法的螺旋銑主軸單元的集中質量模型。
2. 2 修改的整體傳遞矩陣方法
2. 2. 1 傳遞矩陣
整體傳遞矩陣方法在文獻［6］中已有詳細的介紹。不過在本章中需要根據螺旋銑主軸單元的結構進行修改，不只限于考慮多轉子結構的配合及軸承的支承剛度，還要考慮結構的雙偏心特點及類似于行星輪的自轉與公轉。由于主軸單元中有 3 個轉子，因此根據整體傳遞矩陣方法，相鄰單元可以按下式傳遞:
2. 2. 2 計算軸承剛度
軸承為主軸單元中的重要部件，其類型、配置、精度及冷卻與主軸單元的工作特性直接有關。由于角接觸球軸承具有低的摩擦特性并能抵抗軸向和徑向的外部載荷的作用，在主軸單元中使用較多。一般主軸至少具有兩套軸承系統。最常見的是轉子位于兩套軸承之間。由于螺旋銑孔過程中軸向力稍大于徑向力，25°角接觸球軸承既能承受徑向力，又能承受較大的軸向載荷，因此用于該主軸單元中。
當軸承安裝時，需要載荷的作用，由此可以計算軸承的剛度，如果軸承在軸向載荷下工作，大致的徑向剛度［10］為:
當軸承轉速超過 10 000 r/min 時，軸承剛度有逐漸軟化的趨勢，而當轉速為 18 000 r/min 時，動態剛度約為靜態剛度的 92%［5］，對于螺旋銑主軸單元，自轉與公轉轉速都不超過 7 000 r/min，則軸承剛度被認為等同于上面計算的靜態剛度。
2. 2. 3 雙偏心
偏心會影響切削力的作用效果，由于主軸中第二階及第三階轉子全長存在偏心，因此第二階和第三階轉子的傳遞矩陣必須乘上偏心矩陣。
2. 2. 4 自轉公轉系統
多速度多轉子系統中每一轉子都有其自身的速度，有些速度為同步進動有些則為非同步進動速度，當計算臨界轉速時，在不平衡響應的慣量計算時必須考慮轉子的自轉與公轉。
轉子的進動角速度定義為 Ω，所有轉子都具有自身的角速度，代入上面的公式來計算慣性矩。主軸單元為三轉子結構，從里到外第一層轉子既自轉又公轉，第二層與第三層轉子只有公轉。假設 ω1為自轉角速度，ω2為公轉角速度。當需要計算由第一階轉子所激起的固有頻率時，Ω=ω1+ω2，那么公式( 5) 中的 ω 需用第二階或第三階傳遞矩陣中的 ω2來代替，以便獲得一組固有頻率。同樣的，當需要計算由第二階或第三階傳遞矩陣激起的固有頻率時，Ω = ω2，則公式中的 ω 需要用 ω1+ω2來代替以獲得另一組固有頻率值。
2. 3 計算動態特性
2. 3. 1 固有頻率計算
基于修改的整體傳遞矩陣方法可以獲取主軸的頻率函數。考慮螺旋銑設備本身的動態特性，排除掉刀夾與刀具的影響，轉子為兩端自由，則有:
由于主軸單元的三轉子結構及其所存在的偏心，根據公式( 3) 與( 4) 計算化簡后得六行六列矩陣可以作為計算依據( 具體計算及化簡過程參考文獻 :
其中左側矩陣為傳遞矩陣與偏心矩陣相乘，無法對元素 a 命名，角碼為化簡前該元素所在行數與列數。由于 θ 和 y 在主軸單元的第一段和最后一段為非零值，從公式( 8) 中得到:
系統的臨界角速度可以通過求解公式( 9) 來求得，從而轉換成固有頻率和臨界轉速。
2. 3. 2 計算結果
基于上面的分析，使用 MATLAB 軟件分析螺旋銑主軸單元的動態特性，由轉子系統的自轉和公轉所激發的固有頻率列于表 1 所示。
系統自轉所激發的固有頻率小于公轉激發的固有頻率，整個系統的固有頻率將位于兩值之間。為了下面的簡化分析及考慮實際情況，系統自轉所激發的固有頻率作為結構設計的原始值，如表 1 所示，第一階固有頻率為 816. 5 Hz，因此第一階臨界轉速約為 48 988r / min。由于主軸單元的公轉速度不超過 300 r / min，自轉速度不超過 7 000 r/min，整個結構工作在安全狀態。
表 1 主軸單元的固有頻率
2. 3. 3 諧響應分析
諧響應是動態特性的重要評價指標，螺旋銑主軸單元的響應分析結果如圖 3 所示。
在 2 000 Hz 頻率范圍內有四階固有頻率被激振，在相關點處動態剛度將急劇下降，最終導致主軸及刀具變形或不穩定振動，降低加工特性。第一階固有頻率 816. 5 Hz 的振動幅值大小為 0. 48 mm /N，相應的動態剛度為 2. 08 N /mm。那么，影響螺旋銑主軸單元動態特性的主要因素基于頻率響應的分析來進行。
2. 3. 4 有限元分析
為了驗證傳遞矩陣方法計算的自然頻率的結果，螺旋銑主軸單元使用有限元軟件進行了建模，使用ANSYS 軟件得到的裝配體的固有頻率( 臨界轉速) 如圖 4 所示，計算結果也列于表 1 中。可以看出，主軸單元的固有頻率在兩種計算方式( 傳遞矩陣方法和有限元方法) 下基本一致，進一步說明了傳遞矩陣數學模型的有效性。
3 、設計變量分析
影響主軸單元系統動態特性的因素主要有軸承的配置、主軸單元的直徑與長度等。本節主要考慮與軸承有關的軸承跨距、軸承剛度、偏心距、主軸單元的總長度等因素對固有頻率( 臨界轉速) 的影響，每次改變變量中的一個來分析。由于 6 個設計變量的單位不同，其對主軸單元動態特性的影響也不同，無量綱化處理作為分析相對重要性的簡便而有效的方法，可以用來清楚了解 6 個設計變量對固有頻率影響的重要程度。
基于靈敏度分析了設計變量對固有頻率的影響。設計變量的定義見表 2 所示。
表 2 需要考慮的設計變量
從圖 5 中可以看出，單元總長度( 1) 對第一階和第二階固有頻率影響較大，不過當總長度增加時，固有頻率下降。大軸承跨距( 2) 對第一階固有頻率影響較大，小軸承跨距( 3) 對第二階固有頻率影響較大，都是正相關，因此若當高速螺旋銑單元設計時，這兩個變量應該予以仔細考慮。此外，由于軸承剛度具有大的振幅，因此如果系統的第一階固有頻率作為設計目標，相對重要的設計變量為單元總長度，大軸承跨距和大軸承剛度。
4 、結語
螺旋銑孔過程中，刀具在自轉的基礎上進行公轉并保持軸向進給。為了實現螺旋銑孔工藝，基于螺旋銑孔基本加工原理設計了螺旋銑孔主軸單元，該單元為三轉子，雙偏心結構。基于修改的整體傳遞矩陣方法對螺旋銑孔主軸單元進行了固有頻率的分析，結果顯示，該主軸單元工作轉速遠遠低于第一階臨界轉速。同時有限元分析結果顯示螺旋銑孔主軸單元固有頻率理論計算結果與實驗值的誤差不超過 11%，進一步說明了理論計算結果的正確性。為了分析設計變量對主軸單元固有頻率的影響，基于靈敏度分析了軸承跨距、軸承剛度、主軸單元長度等設計變量對固有頻率的影響，結果顯示，影響第一階固有頻率的主要參數為軸承跨距、軸承剛度及單元總長。
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