摘要: 數控機床主軸的結構特性對其加工精度具有重要影響。根據自行設計的微型數控車床的主軸結構特征，應用有限元分析軟件ANSYS Workbench 對其主軸進行了動靜態性能分析。通過對微型數控車床主軸的靜力分析、疲勞分析的和模態分析，得到其動靜態特性參數。在靜態特性分析中將軸承約束等效為剛性約束，在模態分析中將軸承約束等效為彈簧單元的彈性約束，求主軸約束模態，進而求其臨界轉速。求得主軸動靜態特性參數均在合理的范圍內，驗證了主軸設計的合理性，為后續進行微型數控車床整機的動靜態特性研究與優化設計奠定了基礎。
關鍵詞: 微型數控車床; 主軸; 靜力分析; 疲勞分析; 模態分析
0 引言
數控機床的高精度化是其主要的發展趨勢。主軸部件是數控機床最為關鍵的部件之一，其動靜態性能對機床的最終加工性能有非常重要的影響。這一影響在刀具切削工件造成的綜合位移影響中所占的比重可達到60% ～ 80%［1］。因此，隨著機床速度和精度的提高，對其主軸部件的動靜態性能提出了更高的設計和加工制造要求。各科研院所和研究機構對主軸部件的動靜態性能進行了深入、廣泛的研究［2-4］。
本文以自行設計的微型數控車床為研究對象，其主要用于加工小、微型零件，具有加工精度高，加工效率高，節約能源，占地面積少等優點。在微型數控車床的設計中，保證主軸部件具有較好的動靜態特性是十分重要的，其靜態特性( 包括強度、剛度和疲勞特性等) 和動態特性( 模態特性等) 的優劣都將直接影響到整臺機床的使用性能。靜態特性直接決定了主軸的使用性能與壽命，動態特性將直接影響主軸抵抗自激振動與受迫振動的能力，影響主軸的加工精度和工件的表面質量，從而影響微型數控車床的加工性能。為使
微型數控車床主軸具有剛度高、振動小等良好性能，需研究其主軸的動靜態特性，改善其薄弱環節，減小其對機床整機的動靜態性能的影響。因此，在設計階段需對主軸的動靜態特性進行合理而準確的分析，以提高設計效率，減少試驗成本，進而提高其使用性能。從而對提高微型數控車床的設計水平具有非常重要的理論和現實意義。應用ANSYS Workbench 有限元分析軟件對微型數控車床的主軸進行動靜態特性分析。
Workbench 提供了Windows 風格的友好界面，與Solid-Works 等CAD 軟件的無縫接口技術、新一代的參數化建模工具和領先的優化技術使用戶能夠方便快捷地進行CAE 分析。
1 、微型數控車床及其主軸結構
以自行設計的微型數控車床的主軸為研究對象。微型數控車床結構簡圖如圖1 所示，長700mm，寬288mm，高233mm。
該機床的主軸部件結構簡圖如圖2 所示。主軸部件設計的轉速范圍為400 ～ 6000r /min，可實現無級調速，總長度為216mm。主軸通過左右兩組軸承安裝在主軸箱內，主軸軸承采用了洛陽軸承研究所的高精密角接觸球軸承，它具有膨脹系數小、彈性模量大、極限轉速高和抗振動性能好的特點。左側為單列安裝的面向卡盤的角接觸球軸承，型號為7003AC( α = 25°) ，起到徑向支承的作用; 右側為背靠背安裝的角接觸球軸承，型號為7004AC/DB( α =25°) ，承受軸向力和徑向力。這樣的組合保證主軸具有足夠的剛度和回轉精度。
圖1 微型數控車床結構圖
圖2 微型數控車床主軸結構圖
2、 靜態特性分析
2． 1 靜力分析
主軸的靜力分析主要包括強度和剛度的計算。主軸采用40Cr 合金結構鋼，調質處理，屈服強度σs =785MPa。主軸材料屬性如表1 所示。
表1 主軸材料屬性
施加約束和載荷時，應盡量按照實際工況進行，這樣才能保證計算結果更準確。根據實際工況，加載位置有三處: 一是，主軸左側與帶輪連接的鍵槽，施加的是固定約束; 二是，軸承和主軸的接觸，將軸承支撐簡化為剛性支撐，左側軸承用圓柱約束( Cylindrical Support)提供徑向支撐，右側軸承用圓柱約束( CylindricalSupport) 提供軸向和徑向支撐［5］; 三是，切削過程中產生的切削力和轉矩經過轉化后加載在主軸和卡盤的連接處，但直接施加比較麻煩，因此將這幾處等效為剛性單元，將車刀切削工件產生的切削力直接施加在剛性單元上，主軸輸入端的轉矩由負載決定，因此在主軸和卡盤結合面施加遠程力( Ｒemote Force) 模擬實際車刀切削力。這樣的約束和加載方式是符合實際工況的。
根據車床切削力計算公式以及一般外圓切削實際工況［6］，計算出主切削力Fc = 210N，背向力Fp = 126N，進給力Ff = 105N。在Workbench 中通過便利的遠程力( Ｒemote Force) 來模擬三個正交的切削力，設置其大小為( －105， 210，－ 126) ，該遠程力施力位置為實際車刀切削位置，相對主軸左端面坐標為( 350，0， 20) 。
有限元分析的仿真精度取決于有限元模型，建立模型時，忽略倒角、倒圓、螺紋等小特征，簡化為多階梯空心圓柱體。利用SolidWorks 軟件完成主軸建模后，按照Parasolid 標準輸出“． x _ t”文件，導入到Workbench環境下進行網格劃分。在網格尺寸設置中將關聯中心( Ｒelevance Center) 設置為密網格( Fine) ，設置單元尺寸( Element Size) 為4mm，并采用默認的四面體網格進行自由網格劃分。主軸模型網格劃分結果如圖3 所示，共有8791 個單元， 15177 個節點。
圖3 網格劃分后的主軸有限元模型
主軸有限元靜力分析結果如圖4 所示，從圖4a 可知主軸最大等效應力為73MPa， 40Cr 合金結構鋼的屈服強度為785MPa，安全系數大于10，即使考慮應力集中的情況，根據第四強度理論，主軸強度依然滿足要求［7］。從圖4b 可知主軸最大等效應變為0. 35μm。說明主軸結構在強度與剛度上均達到了較好的效果。
圖4 主軸有限元靜力分析結果圖
2． 2 疲勞分析
微型數控車床在工作過程中，主軸旋轉，所受的切削力是一個交變應力，在交變應力的作用下，雖然主軸所承受的應力低于材料的屈服極限，但經過較長時間的工作后主軸會產生裂紋或突然發生完全斷裂，這種現象稱為金屬疲勞，故需對主軸進行疲勞分析。
在對主軸靜力分析的基礎上，進一步對其進行疲勞分析。S /N( 應力/壽命) 曲線是材料疲勞失效時應力幅值S 與對應的疲勞壽命N 的關系曲線［8］。設置主軸材料的S /N 曲線，如圖5 所示。
圖5 主軸材料的S/N 曲線
在Workbench 的靜力分析結果中添加一個FatigueTool( 疲勞工具) ，設計壽命設為1e6，進行疲勞分析，得到疲勞結果如圖6 所示，從圖6a 可知主軸最低疲勞壽命為1e6，從圖6b 可知主軸最低疲勞安全系數為1. 181，最高為15，說明主軸設計滿足疲勞壽命要求。
圖6 主軸疲勞分析結果圖
3 、動態特性分析
3． 1 模態分析理論
根據有限元理論，主軸的動力學方程如下:
［M］{¨x( t) } + ［C］{ x( t) } + ［K］{ x( t) } = { F( t) } ( 1)式中，［M］為主軸質量矩陣，［K］為主軸剛度矩陣，［C］為主軸阻尼矩陣，{ x( t) } 、{ x( t) } 和{¨x ( t) } 分別為節點的位移、速度和加速度向量，{ F( t) } 為節點所受外力向量。固有頻率只與系統本身的特性( 質量、剛度和阻尼) 有關，模態分析即是求解振動系統的固有頻率和振型［9］。當彈性體的動力學基本方程中的外力向量{ F( t) } = { 0} 時，略去阻尼，便可得系統的自由振動方程:
機床動態特性是影響機床性能的重要因素，將直接影響機床最后的加工性能，是評定機床性能的重要指標。對微型數控車床，其主軸的動態特性對機床的加工性能影響很大。因此，對微型數控車床主軸的動態特性分析，研究其對機床性能的影響就尤為重要。機床抵抗振動能力的大小是評價主軸動態性能的重要指標。振動的幅值與激振力的頻率關系很大，對于微型數控車床，激振力的頻率和振幅隨著轉速的提高而增大，很容易接近于系統的固有頻率，當主軸的某階固有頻率與激振頻率相等或相近時，將使振幅劇增，產生共振［10］，因此主軸的各階固有頻率應作為主軸不可忽視的一項評價指標。
主軸的振動可以表達為各階固有振型的線性組合，其中低階固有振型要比高階固有振型對軸的振動影響大，越是低階影響就越大，因此低階振型對軸的動態特性起決定作用，故在進行主軸的模態分析時取前6 階低階模態［11］。
3． 2 模態分析
為了更精確地求解主軸在實際工況約束下的模態，采用固定剛度的彈簧模擬軸承對主軸的約束，對主軸進行約束模態分析。所用求解方法為Workbench 默認的Block lanczos 法，該方法計算結果較精確，收斂較快，且計算速度也快。
軸承的預緊剛度計算十分復雜。預緊剛度越大，軸的剛性越高，但軸承壽命和最大轉速減少。單個軸承預緊后的徑向剛度Kr可采用式( 5) 進行計算［12］。
主軸軸承采用定位預緊方式，根據所選軸承的參數，預緊力為輕預緊，左右軸承預緊力大小分別為50N、80N。由洛陽軸承研究所提供的左右支撐軸承相關參數如表2 所示。
表2 軸承參數
根據軸承參數和預緊力以及剛度計算公式，求算得左側軸承徑向剛度為6. 359e7 N/m，即6. 359e4N/mm; 右側軸承徑向剛度值為7. 621e7N/m，即7. 621e4N/mm。
用4 個沿圓周方向上分布的彈簧模擬軸承支撐［13］。左側為單列角接觸球軸承，模擬為單組彈簧，約束在軸頸中點處; 右側為背靠背安裝的雙列角接觸球軸承，模擬為雙組彈簧，分別約束在軸承中點處。軸承外圈全約束，即為彈簧固定端; 軸承內圈提供徑向支撐，即為彈簧游動端。彈簧布置圖如圖7 所示。
圖7 彈簧布置圖
在Workbench 中用Connections 中的Body-Ground中的Spring 模擬軸承支撐，Ground 對應軸承外圈，全約束，Body 對應軸承內圈，提供徑向支撐。再在右側軸承處用圓柱約束( Cylindrical Support) 提供軸向約束。輸入彈簧剛度值，對主軸進行約束模態分析，得到前6 階固有頻率如表3 所示。
表3 約束模態主軸前6 階頻率
主軸前6 階約束模態振型云圖，如圖8 所示。
圖8 主軸約束模態振型云圖
從圖8 可以看出，主軸為軸對稱結構，第1 階振型為主軸徑向伸縮，是因為主軸大端具有卡盤定位結構，為主軸高階振型。主軸徑向伸縮對主軸與軸承的配合、間隙以及預緊具有重要影響。第2、3 階頻率很接近，振型為沿正交的兩個徑向方向的一次彎曲振動。
第4、5 階頻率也很接近，振型為沿正交的兩個徑向方向的二次彎曲振動。第6、7 階振型應為沿正交的兩個徑向方向的三次彎曲振動。但主軸各階頻率太高，實際主軸達不到如此高的頻率。
3． 3 臨界轉速
主軸在運轉中都會發生振動，主軸的振幅隨轉速的增大而增大，到某一轉速時振幅達到最大值( 共振) ，超過這一轉速后振幅隨轉速增大逐漸減少，且穩定于某一范圍內，這一主軸振幅最大的轉速稱為主軸的臨界轉速。這個轉速與主軸的固有頻率相關。
由約束模態分析結果可知，第1 階固有頻率為3. 3704e － 3Hz，約等于0，為剛體運動，可以忽略; 第2階與第3 階頻率值很接近，并且振型表現為正交; 第4階與第5 階，第6 階與第7 階頻率值也很接近，并且為正交振型。由于主軸設計的工作轉速在6000r /min 以下，屬于中低速范圍，轉速對主軸固有頻率影響不大，所以忽略轉速對主軸臨界轉速的影響［14］。根據主軸模態分析得到的固有頻率由式( 6) 計算主軸的臨界轉速［15］。
n = 60f ( 6)式中: n—臨界轉速，r /min; f—固有頻率，Hz。主軸約束模態第2 階臨界轉速n2 = 60 × 3261. 3 =195678r /min，遠遠高于該主軸的最高工作轉速6000r /min，表明設計的主軸工作轉速在安全范圍內，說明該主軸設計是合理的，能有效地避開共振區，可保證主軸的加工精度。
4 、結論
主軸系統是機床最為關鍵的系統之一，對其進行動靜態特性研究對提高微型數控車床整機的性能至關重要。本文利用ANSYS Workbench 有限元分析軟件建立了主軸的動靜態性能分析模型，對微型數控車床的主軸進行了靜力分析、疲勞分析以及模態分析，在模態分析中采用彈簧單元模擬軸承支承，得到更精確的模態分析結果。驗證了主軸建模及設計的合理性，為進一步優化主軸系統結構設計提供了理論依據，為深入研究微型數控車床整機的動靜態特性奠定了基礎，同時也為實際試驗提供了參考和依據。
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