摘要：機床剛度、固有頻率等動力學特性隨著機床部件位置、姿態在工作空間中的變化而變化。對機床動力學特性的研究不僅需要考慮到機床質量、剛度、阻尼值的大小，還應重視機床加工點的空間位置變化。采用空間統計學方法，以超精密機床固有頻率這一關鍵動力學性能為例，分析機床動力學性能與機床位置姿態之間的數學關系，選取機床動態特性變異函數，建立動力學性能變化預測的Kriging 方法模型，研究動力學特性在工作空間中的變化規律以及動力學特性空間信息的表述方法。將所建立的模型與正交多項式方法、徑向基神經網絡方法、二階響應面方法等方法建立動力學性能預測分析模型比較，空間統計學Kriging 方法所建立的模型R2 檢驗大于0.96，在四種模型建構方式中為精確度最優，能夠在完整工作空間中準確地描述機床動力學特性。基于空間統計學的機床動力學特性研究為機床的動力學設計提供了新的設計分析方法及相應的技術支持。
關鍵詞：機床動力學；加工空間；空間統計學；Kriging 模型；固有頻率
0 前言
機床動力學特性是機床重要的性能指標。不恰當的機床設計和使用將引起機床加工中的顫振，使得機床的切削條件變得不穩定，導致刀具的磨損和斷裂，產生加工中的振動和噪聲，影響機床加工精度和工件表面形貌，加速機床本身的磨損和破壞。與機床動力學性能相關的機床設計參數通常有機床的剛度、固有頻率、模態振型、阻尼、質量分布等。機床動力學特性設計和分析通常采用有限元方法建立虛擬仿真環境[1-3]，提供在一個具體的位置和姿態下，機床的n 階固有頻率和對應的模態振型以及剛度，為機床的動力學設計提供數據支持。虛擬仿真環境解決了機床運動過程中的位置相關的動力學性能評估問題，但尚未對機床各加工位置之間的動力學性能的變化趨勢和關聯性進行分析。針對機床工作空間中動力學特性的演變，許多學者進行了分析研究。ZAGHBANI 等[4]采用機床加工過程中模態的變化為指標來評估機床動力學特性的穩定性。WU 等[5]分別使用數值計算和試驗方法研究了5自由度混聯機床工作空間中的剛度分布，并嘗試通過改進剛度最低的部件剛度來優化系統剛度。劉海濤等[6]通過定義廣義加工空間函數的方法，在龍門機床和立式機床的整個工作空間進行模態分析和動力響應分析，獲得了低階固有頻率在加工空間中變化最大可達25%的結論，證明了機床性能的優化中完整模態信息的重要性。但目前，關于動力學特性在工作空間中的變化規律的研究以及動力學特性空間信息的表述方法的研究還未見有詳細研究的報導。
本文通過機床工作空間動力學特性分析機床動力學性能的空間特性的內在形成機制，繼而，以一階固有頻率為例，建立空間中的機床動力學特性的空間統計學模型，通過與正交多項式模型、神經網絡模型及二次響應面模型的比較，分析動力學性能的影響因素的同時，獲得高精度的空間動力學特性表征模型。
1 、機床動力學性能的空間特性分析
如圖 1 所示[7]，機床剛度、固有頻率、模態振型等動力學參數是機床關鍵部件及結合部組成的剛度鏈[8-10]結構特性和機床空間位置、姿態等空間特性的函數。剛度鏈隨著機床的位姿變化而變化。剛度鏈每一位置姿態對應的剛度、固有頻率等模態信息都可以使用多體動力學和有限元分析的聯合仿真方法求解[2]。
圖1 機床剛度鏈及機床動力學特性
機床剛度鏈的兩個端點刀具和工件在加工過程中位置變化包絡形成機床工作空間。加工空間內的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣隨著機床位置姿態的變化而變化，并引起固有頻率、模態、動剛度等動態特性的變化。其中，質量矩陣在加工過程中隨著運動部件重心的變化而變化；阻尼產生機理和計算方法尚有爭論；機床的剛度鏈組成復雜，包括：結構件剛度、主軸剛度、導軌剛度、結合部剛度、電機伺服剛度、氣浮軸承剛度等，在機床運動過程中，這些剛度鏈的剛度變化量級不同。在三個因素綜合作用下，機床的固有頻率、模態、動剛度等動態特性在加工空間中的變化呈現非線性、變化規律復雜。
決定機床動力學特性的機床質量矩陣 m、剛度矩陣k 和阻尼矩陣c 都隨著剛度鏈的變化而變化，機床的動力學特性是空間位置(x, y, z)的函數。可寫為
將位置姿態數據(x, y, z)反復代入到式(1)，獲得某5軸銑床各加工位置的一階固有頻率，如圖2 所示。對式(1)、(2)進行模態疊加，可得到由固有頻率值和模態矢量表述的動剛度等動態特性
根據以上數學推導及分析可知，由于機床運動中質量、阻尼、剛度改變的連續性，加工空間中的動力學特性數據各位置間明顯具有關聯性，表現為鄰近位置的動力學特性相似。這種數據之間的關聯性，使得超精密機床加工空間動態性能具有空間依賴性(空間自相關)。在進行動態性能分析時，既考慮到各采樣點具體值的大小，又重視樣本空間位置及樣本間的距離的方法會更有利于動態性能的把握。空間對象間的相關性和非獨立的有效科學方法是基于數據的空間統計學。從這個性質而言，傳統的代數多項式擬合建立在數據獨立性的基礎上，代數多項式的統計模型對空間數據的分析會產生虛假的解釋。目前流行的神經網絡方法沒有在算法中明確指出從空間特性上對動態性能學習和分析的途徑，其對整機動態特性的掌握也沒有考慮空間數據關系的空間分析方法精準。在空間特性分析上，Kriging 方法[11-12]是以已知樣本信息的動態構造為基礎，充分考慮到變量在空間上的相關特征，建立對象問題的近似函數關系來模擬某一點的未知信息的有效空間統計學方法。
圖2 加工空間各加工位置的固有頻率值
因此，本文嘗試使用 Kriging 方法建立近似模型對加工空間動態特性預測分析，并與傳統代數多項式建立的響應面近似模型、及基于對數據學習分析的神經網絡模型對比，以期獲取更好性能預測分析。
2 、動力學性能的Kriging 預測模型
Kriging 插值[11]是一種求最優、線性、無偏的空間內插方法，采用協方差衡量各點空間相關程度。它是基于線性回歸分析的一種改進，模型包含了線性回歸部分和非參數部分，其中的非參數部分被稱為變異函數，采用隨機分布函數的實現。
常用于擬合變異函數的模型包括指數模型、高斯模型、Matérn 線性模型、Matérn 立方模型。通過計算模型協方差，找出最佳理論變異函數模型，獲得最好擬合效果，計算公式為
至此，對加工空間中任意點的一階固有頻率可使用式(16)計算獲得。其他如剛度、高階固有頻率、阻尼等相關動態性能參數均可使用此方法計算。下面以一階固有頻率為例對Kriging 方法建立的模型進行加工空間內機床動態特性分析。
3 、機床動態特性分析
3.1 動態特性變異函數的選擇
取圖 2 中27 個空間點作為位置變量輸入P = {p1, p2 ,?, pn}，對應響應變量的輸出數據f1,f2.... fn，計算刀具加工點位于空間位置p 時機床的動態性能。
將已知的 27 個空間位置的一階固有頻率數據代入，選擇變異函數g(x, y, z)協方差計算模型為指數模型，獲得正則化θ 參數如表1 所示。
表 1 Kriging 模型θ 參數
至此，完成整體模型擬合。
圖3 指數函數模型頻率預測值與真實值比較由于 Kriging 模型建立時考慮了數據的內在相關性，所有變異函數獲得的近似模型擬合精確度檢驗R2 檢驗值均大于0.95，四種變異函數都可以比較精確地表達一階固有頻率在加工空間內的變化規律。四種模型中指數函數模型能夠更好地表達數據之間的相關性，近似精度最高。
3.2 一階固有頻率的變化規律
以圖 2 中的超精密銑床為例，研究機床加工空間中一階固有頻率的變化規律。
圖3 指數函數模型頻率預測值與真實值比較
圖 4 中X 剖面從左到右依次為x=-115 mm，x=0mm，x=115 mm。對三幅圖中同一(y, z)點值分析可知，隨著導軌在X 方向的移動，該超精密銑床工作空間中相同(y, z)位置一階頻率將產生6%非線性改變。圖 5 中Y 剖面左到右依次為y=0 mm，y=112.5mm，y=225 mm。對三幅圖中同一(x, z)點值分析可知，隨著導軌在Y 方向的移動，工作空間的相同(x,z)位置一階頻率幾乎沒有發生改變。由此可知，能通過Y導軌運動到達的工作位置，應優先移動Y導軌。如圖 6 所示，圖中Z 導軌位置從左到右依次為z=0 mm，z=80 mm，z=160 mm。隨著導軌在Z 方向的移動，工作空間中相同(x, y)位置一階頻率將產生5%的非線性的改變。由于Z 方向是加工敏感方向，這種變化在超精密加工中產生影響需要盡量避免。對三幅圖中同一點值分析可知，當Z 導軌位于定導軌中部(z=80 mm)位置時，工作空間中(x, y)點位置的變化對整機頻率影響最小。
圖4 工作空間內的一階頻率(X 剖面)
圖5 工作空間內的一階頻率(Y 剖面)
圖6 工作空間內的一階頻率(Z 剖面)
根據以上分析可知，機床的一階固有頻率在工作空間是變化的，為了保持機床工作的平穩，應優先使用頻率變化小的運動方式來保障機床具有更平穩的動態性能。以文中所使用的超精密銑床為例，該機床在工作時應該盡量使得Z 導軌停留在定導軌的中部，優先進給Y 軸，減少X 導軌的運動來降低超精密加工中機床性能變化對精度帶來的不利影響。
4 、對比研究
機械設計分析中，傳統上更多地使用包括正交多項式模型[14-15]和響應面模型[16-17]等多項式近似模型。近年來，神經網絡模型[18-19]作為近似分析模型在機床建模和機械產品性能分析中也日益廣泛使用。本節測試這三種模型在機床動態特性分析中的適用性。
4.1 正交多項式模型
將 上 述 27 個采樣點作為輸入點， 采用CHEBYSHEV 正交多項式建立機床一階固有頻率的空間動態模型。可解得R2=0.471 63，由于R2 小于0.9，誤差值過大，這種算法構建的一階固有頻率空間變化規律模型用于分析時可信度非常低。
計算出的一階固有頻率預測值與真實值比較及一階固有頻率分布如圖7、圖8 所示。由于誤差值過大，可認為這種構造近似模型的方法得到的近似模型用于分析時可信度較低。
圖7 正交多項式近似模型頻率預測值與真實值比較
圖8 正交多項式近似模型仿真結果
4.2 徑向基神經網絡模型
徑向基神經網絡模型形參數取值 2.97，構造后得到R2=0.885 47。殘差分析如圖9 所示，仿真模型如圖10 所示。由于誤差值過大，可認為這種構造近似模型的方法得到的近似模型用于分析時可信度較低。
圖9 神經網絡模型模型頻率預測值與真實值比較
圖10 神經網絡模型仿真結果及分析
4.3 二階響應面模型
根據給定的 27 個點的初值，可寫出二階響應面模型(Response surface method, RSM)構造方程。二階響應面模型R2=0.346 71，精確度分析如圖11 所示，頻率分布仿真效果如圖12 所示。由于R2 遠小于0.9，誤差值過大，可認為這種構造近似模型的方法得到的近似模型用于分析時可信度非常低。
圖11 RSM 近似模型頻率預測值與真實值比較
圖12 RSM 近似模型仿真結果及分析
5 結論
(1) 本文使用Kriging 方法建立空間統計模型進行機床動力學特性研究，獲得了固有頻率、剛度在加工空間分布規律，在完整工作空間中準確的描述超精密機床動力學特性。
(2) 機床動力學特性的剛度、固有頻率等主要因素隨著機床位置姿態的變化規律可使用Kriging方法描述。方法中的四種變異函數模型(指數函數、高斯函數、線性函數、三次函數)，指數函數模型能夠更好的表達數據之間的相關性，近似精度最高。
(3) 由于正交多項式模型、響應面模型和神經網絡模型在模型建構中使用了數據獨立性假設，該假設與機床動態特性數據的空間相關性相違背，所以不適合用于機床動力學特性變化規律的描述。本文的研究結果為超精密機床的動力學設計提供了新的設計分析方法和技術支持。為機床使用中加工位置和姿態的選擇和路徑規劃提供了原理和數據支持。
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