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     摘要: 基于有限元法參數(shù)化建立主軸系統(tǒng)三維有限元模型，將軸承簡化為彈性支撐． 考慮皮帶輪和卡盤的影響，對整個主軸系統(tǒng)進行模態(tài)分析，得到主軸系統(tǒng)的前八階固有頻率及固有振型． 進行臨界轉(zhuǎn)速分析，將工作轉(zhuǎn)速與非零最低階頻率對應(yīng)的轉(zhuǎn)速進行比較，驗證主軸設(shè)計的合理性． 利用ISIGHT 集成ANSYS 進行正交試驗設(shè)計并計算非零最低階固有頻率，將有公差范圍要求的軸段的直徑和長度以及基本物理參數(shù)作為隨機變量，采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合主軸系統(tǒng)非零最低階固有頻率與隨機變量之間的關(guān)系． 利用一次二階矩法計算主軸系統(tǒng)在特定轉(zhuǎn)速下的可靠度并求解各隨機參數(shù)的可靠性靈敏度．

     關(guān)鍵詞: 主軸系統(tǒng); 有限元法; 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); 可靠度; 可靠性靈敏度

     主軸系統(tǒng)是數(shù)控車床的關(guān)鍵部件［1 － 4］． 主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性很大程度上決定了整個機床的加工質(zhì)量和切削穩(wěn)定性． 主軸系統(tǒng)工作頻率接近其固有頻率時會發(fā)生共振，從而嚴(yán)重影響車床的加工精度． 因此，主軸的正常轉(zhuǎn)速必須遠(yuǎn)離其臨界轉(zhuǎn)速．

     在設(shè)計加工過程中，主軸系統(tǒng)不同軸段的尺寸會有一定偏差，將其視為影響主軸系統(tǒng)可靠度的隨機變量; 尺寸的微小變化會引起整個主軸系統(tǒng)固有頻率的變化． 由于各隨機變量的影響程度不同，因此研究頻率可靠性及主軸系統(tǒng)失效概率對各隨機變量的靈敏度具有重要的意義．

     本文基于有限元軟件［5］對數(shù)控車床主軸系統(tǒng)進行參數(shù)化建模，利用ISIGHT［6］集成ANSYS進行正交試驗設(shè)計，對隨機參數(shù)進行抽樣，計算非零最低階固有頻率． 根據(jù)抽樣計算結(jié)果，結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)得到了主軸系統(tǒng)非零最低階固有頻率與所有隨機變量的擬合關(guān)系，進而利用一次二階矩法計算主軸系統(tǒng)在最高轉(zhuǎn)速時的可靠度并求解可靠性靈敏度．

      根據(jù)主軸系統(tǒng)有限元分析結(jié)果以及可靠性靈敏度計算結(jié)果，指導(dǎo)實際設(shè)計加工．

      1 、主軸系統(tǒng)有限元模型

     1. 1 主軸系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)及參數(shù)

     主軸是一種典型的中空階梯軸，將錐度較小的軸面簡化為等直徑軸面，將軸內(nèi)孔徑視為常數(shù)，忽略軸段倒角及圓角． 主軸前端安裝標(biāo)準(zhǔn)三爪卡盤，末端固聯(lián)皮帶輪． 在主軸高速旋轉(zhuǎn)過程中，可將皮帶輪和卡盤與主軸視為一體，經(jīng)合理簡化后的主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示．

     
                  圖1 主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

     主軸系統(tǒng)的基本物理參數(shù)如表1 所示． 圖1中標(biāo)注出的各軸段直徑、主軸內(nèi)孔直徑以及后兩軸段長度均有尺寸范圍要求，因此作為尺寸隨機參數(shù)． 將彈性模量、泊松比、軸承剛度、材料密度這4 個物理參數(shù)同樣看作隨機變量． 所有隨機參數(shù)均服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差取為均值的5%．

                            表1 主軸系統(tǒng)基本物理參數(shù)
   

     1. 2 軸承的簡化及約束

     本文將前后軸承均簡化為彈性支撐，支點位置位于軸的表面，如圖2 所示． 在主軸的前、后端分別有軸承支撐，因此需要建立8 個彈簧單元． 假設(shè)軸承只具有徑向剛度，且剛度值為常數(shù)，見表1．

  
      
                   圖2 軸承彈性支撐示意圖

     根據(jù)軸承特點及主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，對彈簧施加約束時，約束其自由端的全部自由度，即對圖2 中的T5，T6，T7和T8點進行完全約束． 對于彈簧與軸表面的接觸端，在前軸承處施加軸向約束，后軸承處不約束，對應(yīng)圖2 中的T1，T2，T3和T4點．

     1. 3 主軸系統(tǒng)有限元模型

     使用8 節(jié)點SOLID185 單元和COMBIN14 單元分別建立主軸和彈簧單元． 對主軸系統(tǒng)進行適當(dāng)簡化，按照有限元分析的要求，使彈簧約束處節(jié)點號固定不變，將主軸系統(tǒng)劃分為6 976 個單元，8 928 個節(jié)點，有限元模型如圖3 所示．

     
                     圖3 主軸系統(tǒng)有限元模型

     2 、主軸系統(tǒng)模態(tài)分析

     主軸系統(tǒng)的靜力分析［7］體現(xiàn)剛度對主軸加工精度的影響． 模態(tài)分析通過研究無阻尼系統(tǒng)的自由振動，得到其自然屬性． 進行模態(tài)分析可以直觀地了解主軸系統(tǒng)的固有頻率及變形程度［8］．

     首先根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立動力學(xué)基本方程:

     式中: M，C，K 分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣; x，x·和x··分別為位移、速度和加速度矩陣; F 為激振力矩陣．對于本文來說，進行模態(tài)分析是研究主軸系統(tǒng)無阻尼自由振動特性，從而得到其固有頻率和振型; 因此忽略阻尼矩陣影響，且自由振動時無外界激振力，即阻尼矩陣C 和激振力矩陣F 均為零矩陣． 設(shè)解為

     將式( 2) 代入式( 1) ，并使特征矩陣行列式為零，得到關(guān)于ω 的n 次方程，開方后得到n 階固有頻率．

     根據(jù)第1 節(jié)中對數(shù)控車床主軸系統(tǒng)的參數(shù)化建模，進行模態(tài)擴展和結(jié)果后處理，利用有限元軟件進行模態(tài)分析，使用Block Lanczos 法提取固有頻率，選取前8 階振型，各階固有頻率數(shù)值及對應(yīng)的振型分別如表2 和圖4 所示．

                    表2 主軸系統(tǒng)前8 階固有頻率及振型

     由以上結(jié)果可以看出，第1 階頻率為0． 第2，3 階頻率相同，第4，5 階頻率相同，表現(xiàn)為正交;可以將其視為重根，其振型也只是方向不同． 第6階和第7 階頻率為單根，其振動形式分別為扭轉(zhuǎn)和拉伸，而沒有彎曲和擺動． 進一步求解主軸系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速:n = 60f ． ( 3)式中: n 為臨界轉(zhuǎn)速，r /min; f 為頻率，Hz．根據(jù)式( 3) 和表2，計算出各階次頻率對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為: 第1 階0; 第2，3階同為18 462 r /min; 第4，5 階同為28 254 r /min; 第6 階為44 875. 2 r /min; 第7 階為52 468. 2 r /min; 第8 階為55 278 r /min．只考慮轉(zhuǎn)速非零的最低階即第2，3階固有頻率所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速［9］． 本文中主軸系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速最高值為6 000 r /min，小于2，3階固有頻率所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速，即18 462 r /min．

                         圖4 主軸系統(tǒng)前8 階振型圖
   

     3 、ISIGHT 試驗設(shè)計及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合

    利用ISIGHT 集成ANSYS 設(shè)計正交試驗，通過修改模擬計算模塊的輸入文件來完成對模型的修改，從而能夠高效地得到所需數(shù)據(jù)．

    將圖1 中標(biāo)注的9 個尺寸參數(shù)及表1 中所列出的4 個基本物理參數(shù)共13 個參數(shù)作為隨機變量，采用拉丁超立方( LHS) 設(shè)計方法，得到需要的樣本，最后通過ISIGHT 與ANSYS 接口調(diào)用ANSYS 進行相應(yīng)的有限元分析和計算，得到主軸系統(tǒng)非零最低階固有頻率的值．

     利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［10］擬合主軸系統(tǒng)非零最低階固有頻率與設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系． 隱含層的激勵函數(shù)選用Sigmoid 函數(shù)，輸出層的激勵函數(shù)選用線性Purelin 函數(shù)，則上述函數(shù)關(guān)系可表示為

      
                  圖5 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練輸出值與有限元分析值的比較
 

                                    圖6 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差

     4 、頻率可靠度及可靠性靈敏度計算

     研究主軸系統(tǒng)在最高工作轉(zhuǎn)速即6 000 r /min( 對應(yīng)頻率100 Hz) 時的可靠度及可靠性靈敏度．可靠性指標(biāo)β 是一個無量綱數(shù)［11 － 12］:

     一次二階矩法將功能函數(shù)展開成泰勒級數(shù)并取至一次項，按照可靠性指標(biāo)的定義形成求解方程，只需要變量的均值和方差即可求解．

     設(shè)功能函數(shù)為gX( X) ，將功能函數(shù)在均值處展開，得到可靠性指標(biāo)β 的近似表達(dá)式為

     式中Φ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)．

     基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合得到的數(shù)學(xué)模型，建立功能函數(shù)gX( X) = F( X) － 100，這里F( X) 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值，100 為本文所研究的主軸系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)速6 000 r /min 對應(yīng)的頻率即100 Hz． 利用一次二階矩法得到主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的可靠度分析結(jié)果． 其中，可靠性指標(biāo)β = 4. 841 3，頻率可靠度Ｒ =0. 999 999 355 ．

     進而求解主軸系統(tǒng)失效概率對各尺寸隨機參數(shù)的靈敏度． 可靠性靈敏度［13 － 14］就是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基本隨機變量的變化引起結(jié)構(gòu)失效概率變化的敏感性． 失效概率對隨機變量均值和方差的靈敏度計算表達(dá)式分別為

     材料參數(shù)及軸承剛度在機械加工中通常難以控制，因此本文主要研究前文所述的9 個尺寸參數(shù)即X =［d0，d3，d4，d6，d7，d8，d9，h8，h9］對主軸系統(tǒng)可靠性的影響． 可靠性靈敏度計算結(jié)果如下:

     從失效概率對隨機參數(shù)均值的靈敏度矩陣式( 11) 可以看出，d0，d3，d8，h8，h9數(shù)值的增加會導(dǎo)致主軸系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性變差; d4，d6，d9數(shù)值的增加則導(dǎo)致主軸系統(tǒng)頻率的穩(wěn)定性更好．

     從失效概率對隨機參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的靈敏度矩陣式( 12) 可以看出，所有隨機參數(shù)數(shù)值的增加可以導(dǎo)致主軸系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性變差．

     5 、結(jié)語

     本文基于有限元方法，利用有限元軟件對數(shù)控車床主軸系統(tǒng)單元進行參數(shù)化建模． 利用ANSYS 的模態(tài)分析得到主軸系統(tǒng)的前8 階固有頻率及相應(yīng)振型． 比較主軸系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速與臨界轉(zhuǎn)速，分析進行可靠度計算及靈敏度設(shè)計的必要性． 基于ISIGHT 軟件進行正交試驗設(shè)計，利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合出功能函數(shù)表達(dá)式． 利用一次二階矩法求解主軸系統(tǒng)的頻率可靠度并求解各隨機參數(shù)對失效概率的可靠性靈敏度，說明了各尺寸參數(shù)變化對于該主軸系統(tǒng)頻率可靠度的影響程度． 所得數(shù)據(jù)結(jié)果對于指導(dǎo)零部件參數(shù)設(shè)計、實際生產(chǎn)加工和主軸使用壽命提高具有指導(dǎo)意義．