機床關鍵幾何誤差辨識方法研究
2015-1-21 來源：數控機床市場網 作者：重慶大學 張根保 范秀君
摘要:在給出機床關鍵幾何誤差和影響因子定義的基礎上， 提出了識別機床關鍵幾何誤差的新方法。以一臺精密臥式加工中心為例， 利用多體系統理論建立了機床幾何誤差與綜合誤差的映射關系模型， 通過計算和比較影響因子， 最終識別出 16 項影響機床精度的關鍵幾何誤差。示例表明:該方法可以有效地識別出對機床綜合空間誤差影響較大的幾何誤差因素， 從而為合理經濟地進行精度設計和控制提供重要的理論依據。
關鍵詞:多體系統理論;數控機床; 精度設計; 誤差模型; 影響因子
0 引言
精度是衡量機床性能的重要指標之一。近年來，隨著市場對高精度機床需求量的增加，提高機床精度的研究也日益受到重視。經過國內外學者長期不懈的努力，在誤差預防和誤差補償方面均取得了長足的進步。利用三角函數關系推導了機床幾何誤差模型。提出了基于解析二次型模型的機床廣義誤差模型，并首次在誤差模型中考慮了熱誤差因素的影響。提出了基于齊次坐標變換矩陣的建模方法，該方法可以對機床的任意拓撲結構進行建模，通用性強、易于程序化，上海交通大學、天津大學、國防科技大學等院校應用該方法進行了機床誤差建模和誤差補償研究，取得了可喜的成果。機床的精度最終體現為刀具實際位置與理論位置的偏離程度，受到機床各單元體的位置和姿態誤差的影響。每個單元體的誤差對機床精度的影響程度不同，且在時間維上的變化速率也各不相同，因此，研究機床幾何誤差對機床精度的影響程度并加以預防和控制對提高機床出廠精度和進一步研究精度保持性具有重要意義。
本文以國家科技重大專項“精密數控機床精度保持性技術研究” 課題為背景，采用齊次坐標變換矩陣方法建立機床各單元體誤差與機床精度的映射關系模型，并從中提取出關鍵幾何誤差項，為實施機床精度設計與控制研究提供依據。該方法同樣適用于其他類型機床的誤差溯源和關鍵誤差項的辨識。
1 機床綜合誤差模型的建立
1．1 機床的特征矩陣
本文以精密臥式加工中心 TH6380 為研究對象，圖 1 為其結構示意圖，主要由床身、3 個直線運動軸 (X、、Z) 和2 個旋轉軸(B、C) 組成。圖2所示為其相應的拓撲結構，可將機床分為 2 個支鏈， 即床身 →Z 軸滑板 →B 軸 → 工件;床身 →X軸滑板 →Y 軸滑板 → 主軸 → 刀具。
選擇機床原點建立慣性坐標系 B0，依次在 X軸滑塊、Y 軸滑塊、主軸、刀具、Z 軸滑塊、B 軸上建立運動坐標系，分別為 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7，各坐標系均為右手笛卡爾坐標系。設某個單元體圖 1 TH6380 結構示意圖
上的坐標系為 Bk，與其相鄰的低序體的坐標系為Bj，則有
式中，Sjk為相鄰體變換矩陣，描述其單元體 j、k 坐標系間的變換關系;Sjk，p為位置變化矩陣;Sjk，pe為位置誤差矩陣;Sjk，s為位移變換矩陣;Sjk，se為位移誤差矩陣;s 表示 sin，c表示 cos;α、β、γ 為位置坐標系的偏角(歐拉角);α'、β'、γ'為運動坐標系的偏角;a、b、c 與 δpx、δpy、δpz分別為 Bk和 Bj間的相對初始位置和位置誤差;x、y、z與δsx、δsy、δsz分別為Bk和 Bj間的相對運動增量和運動誤差。
機床的單元部件一般存在 6 項基本誤差。圖3 所示為以 X 軸滑板為例進行的各誤差項及表征符號示意，其誤差包括 X、Y、Z 方向的線性位移誤差δx(x)、δy(x)、δz(x) 和繞 3 個軸向的旋轉誤差εx(x)、εy(x)、εz(x)。對于高精密機床，則還需要考慮運動副的初始位置誤差項(即0 位誤差)。受篇幅所限，本文只列出了 X 軸滑板的運動狀態的特征矩陣。
X 軸滑板0 位時的理論位置特征矩陣、X 軸滑板 0 位時的位置誤差矩陣、X 軸滑板的理論運動特征矩陣和 X 軸滑板的運動誤差矩陣可分別表示為式中，x0、y0、z0為 X軸滑板位于0 位置時，其上的坐標系原點在床身固定坐標系中的坐標;Δx0為 X 軸0 位誤差;x 為X 軸滑板的運動位置坐標;δx(x)、δy(x)、δz(x) 與 εx(x)、εy(x)、εz(x) 分別為 X 軸在 x、y、z 方向上的位移誤差和角度誤差。
1．2 THM6380 加工中心綜合誤差建模
假定刀具切削刃中心點 T 在刀具坐標系下的坐標為 QT= (xT，yT，zT，1)，在工件坐標系下的理論坐標為 QW= (xW，W，zW，1)，實際坐標為Q'W= (x'W，y'W，z'W，1)，由機床拓撲結構(圖 2)和式(1) ～ 式(5) 可得到如下轉換關系:
式中，j、k 為 2 個相鄰體的序號。
通過分析式(6) ～ 式(7) 中的參數變量可知，機床的綜合誤差 E 與幾何誤差 G、各運動軸坐標 U、刀具坐標系下的刀具位置坐標 QT有關(未考慮熱誤差因素)，因此，可確定機床的綜合誤差E(刀具的理論位置和實際位置的偏差值) 與各幾何誤差項的映射關系模型為
式中，G 為機床幾何誤差向量;n 為誤差項數量;U 為運動軸坐標向量;x、y、z、θ和 x0、y0、z0、θ0分別為 X 軸、Y 軸、Z軸、B 軸的運動坐標和初始位置坐標。
在誤差參數辨識的基礎上可獲取機床各單元的特征矩陣，再將其代入式(8)，即可得到該機床的具體的數學表達式。利用式(8) 不僅可以建立機床的誤差補償模型，還可以分析各誤差項對綜合誤差的影響，以便合理地進行精度設計和控制。
2 機床關鍵幾何誤差的識別
2．1 關鍵幾何誤差的定義
機床綜合誤差是幾何誤差的非線性函數，幾何誤差對綜合誤差的影響亦各不相同，研究幾何誤差對綜合誤差的影響程度對于機床精度設計與控制具有重要的意義。聯想到導數的概念及涵義，本文將對綜合誤差影響大的幾何誤差定義為關鍵幾何誤差。由式(6) ～ 式(8) 可知，E是G、U 的連續可微函數，E/gi(i = 1，2，…，n) 必存在，并將| E/gi| 定義為影響因子 ki。因此，關鍵幾何誤差項的識別即為比較影響因子ki大小的過程。借用“ 80/20”法則，機床關鍵幾何誤差對綜合誤差的影響應至少占全部幾何誤差影響的80%，本文給出的識別關鍵幾何誤差的表達式為
式中，K 為關鍵幾何誤差的影響比重;m 為 ki從大到小排序的序號。
2．2 關鍵幾何誤差的識別
在分析機床結構及其運動關系基礎上，結合GB/T20957．1-2007—《精密加工中心檢驗條件》對機床幾何誤差檢驗項的要求，得到其中主要影響機床加工精度的幾何誤差有 36 項，即 n = 36。利用 QC20 -W 球桿儀和雙頻激光干涉儀等檢測工具對各幾何誤差進行檢測，表 1 所示為部分幾何誤差檢測結果。將各運動軸的坐標、刀具坐標和表1 中的幾何誤差代入式(8)，即可得到機床在任意測點位置的誤差值。本文以加工中心常用加工區域內一點(x，y，z) = (400，330，210) 為例，進行關鍵幾何誤差項的識別，用于測量的測棒(刀具) 坐標位置矢量為 QT= (0，0，－300，1)。表 2僅列出了綜合誤差 E 與幾何誤差 G 的映射關系(部分)。由式(9) 計算得到的影響機床綜合誤差的關鍵幾何誤差結果如表 3 所示。
2. 3 關鍵幾何誤差的影響分析
由表 3 可以看出:B 軸繞 Z 軸的偏角誤差εγ(b)，B 軸在 X 向的徑向跳動 δx(b)， X 軸分別與Z 軸、B 軸、Y 軸、主軸 S 的垂直度 εxz、εbx、εxy、εxs，是影響 X 方向綜合誤差 Ex的關鍵幾何誤差項，這6 項誤差對 Ex的影響占 86%;B 軸繞 Z 軸的偏角誤差εγ(b)，S軸在Y向的徑向跳動，Y軸與Z軸的垂直度εzy，B軸與X軸的垂直度εbx，Z軸繞X軸的偏角誤差 εx(z)，Z 軸的滾擺誤差 εz(z) 是影響 Y方向綜合誤差 Ey的關鍵幾何誤差項，這 6 項誤差對 Ey的影響占 88. 9%;B 軸的定位誤差 εβ(b)，Z軸與Y軸和S 軸與B 軸的垂直度εzy、εsy，Z 軸的偏擺和仰俯誤差 εy(z)、εx(z)，B 軸繞 X 軸的偏角誤差 εα(b)，X 軸的滾擺誤差 εx(x) 是影響 Z 方向綜合誤差 Ez的關鍵幾何誤差項，這7 項誤差對 Ez的影響占90. 1%。
表 3 中共有19 條數據，16 項關鍵幾何誤差。
其中，εγ(b)、εzy、εbx各出現2 次，即對綜合誤差的兩個方向都有影響，是精度設計和控制過程首要考慮的誤差項;B 軸誤差有4 項，Z 軸誤差有4 項，S 軸誤差有1 項，X軸誤差有1 項，是精度設計和控制過程需重點考慮的單元體;垂直度誤差有 6 項，是需重點控制的單元體體間誤差。
上述 16 項幾何誤差是影響該機床綜合誤差的主要因素，企業可以根據自身的技術能力進行精度設計和控制，經濟合理地提高機床的精度。
3 結論
(1) 本文利用齊次坐標變換矩陣法建立了精密臥式加工中心幾何誤差與綜合誤差的映射關系模型。給出了關鍵幾何誤差和影響因子的定義，在計算和比較影響因子大小的基礎上，提取出 16項關鍵幾何誤差。
(2) 從關鍵誤差的頻次上劃分，B軸繞Z軸的偏角誤差 εγ(b)，S 軸在 Y 向的徑向跳動，Y 軸與 Z軸的垂直度εzy，B軸與X軸的垂直度εbx各出現兩次，可見三者分別對綜合誤差的兩個方向有較大的影響，是需重點控制的誤差項;從單元體角度劃分，B 軸誤差有 4 項，Z 軸誤差有 4 項，是需重點控制的單元體。
(3)本文提出的方法同樣適用于其他類型機床的誤差溯源和關鍵誤差項的辨識，算法易于編程，從而為國內機床企業經濟合理地加強精度設計和控制工作提供了理論依據。
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