摘要：主軸系統是機床產生振動的關鍵部件，分析主軸的動態特性可以了解機床的抗振能力和變形方式。分析中將主軸與支撐軸承簡化成一個彈性系統，同時將主軸旋轉產生的離心力當作結構的預應力，該方法為主軸類零件的動態分析提供了新的思路。
關鍵詞：主軸；軸承；預應力；立式機床；動態特征
０ 引言
本文以數控自動上下料立式機床主軸系統為研究對象，研究主軸結構設計對主軸系統的穩定性和抗振能力的影響。將主軸與支撐軸承簡化成一個彈性系統，將主軸旋轉產生的離心力當作預應力來進行分析，為主軸類零件分析提供了新的分析思路。
有限元方法被廣泛應用于機械工程類的分析計算中，本文對機床主軸進行有限元分析首先需要建立主軸的有限元模型，包括對主軸模型設定材料參數、劃分網格和施加邊界條件，其中邊界條件可以考慮軸承的支撐因素，即在軸承支撐的位置添加具有剛度值的彈性約束條件。利用有限元方法我們可以對主軸進行模態分析與諧響應分析。
１ 、主軸模態分析
當主軸轉動時，質心會偏離軸線使軸產生方向周期性變化的慣性力，這一慣性力是激起軸的橫向振動的主要原因。當主軸轉速接近或通過自身臨界轉速時，其振動會顯得異常強烈。模態分析可以確定機構的固有頻率和振型，從而避免主軸工作時產生過大振動。
１．１ 模態分析理論基礎
由有限元理論得主軸的動力學方程如下：［Ｍ］｛（ｘ··）｝＋［Ｃ］｛ｘ（ｔ· ）｝＋［Ｋ］｛ｘ（ｔ）｝＝｛Ｆ（ｔ）｝．（１）其中：［Ｍ］、［Ｋ］、［Ｃ］分別為主軸的質量、剛度和阻尼矩陣；｛ｘ（ｔ）｝、｛Ｆ（ｔ）｝分別為節點的位移和外力向量。模態分析即是求解振動系統的固有頻率和振型。當彈性體的動力基本方程中的外力向量｛Ｆ（ｔ）｝＝｛０｝時，略去阻尼，便可得到系統的自由振動方程：［Ｍ］｛（ｘ··）｝＋［Ｋ］｛ｘ（ｔ）｝＝０ ． （２）解得其特征方程為：［Ｋ］－ω２［Ｍ］＝０ ． （３）其中：ω 為系統的固有頻率。
１．２ 主軸結構設計
主軸作為分析研究的對象選擇了兩種設計結構，一種是長軸結構（見圖１），另一種是短軸結構（見圖２）。由圖１可以看出，長軸結構設計中的主軸屬于細長軸，長度為７３６ｍｍ。而第二種設計的空心短軸中軸長度顯著減小到２８０ｍｍ，直徑相對增大。可以看出這兩種方案中主軸結構的形狀和尺寸都不相同，通過有限元分析可計算出結構的模態參數，對比結果判斷哪種結構更優。
圖１ 長軸結構圖圖
圖 ２ 短軸結構圖
１．３ 模態分析邊界條件
根據實際情況，主軸工作時要受到其他部件的限制，也就是要設置相應的約束條件。軸承作為支撐主軸的部件，它的支撐剛度對轉子系統的精度、抗振能力起著決定性作用。軸承對主軸的支撐即可模擬為主軸與軸承配合部位施加彈性約束（如圖３所示），同時在主軸上端有鎖緊螺母和其他結構限制主軸的Ｘ、Ｙ、Ｚ向自由度。
軸承支撐參數的識別有多種方法，如傳遞函數法、直接法等，本文利用已有經驗公式計算角接觸軸承的剛度。主軸軸承采用定位預緊方式，在已知預緊力的情況下，可近似求得角接觸球軸承的徑向剛度Ｋｒ：
Ｋｒ＝１．７７２ ３６ Ｋｍ（Ｚ２·Ｄｂ）１／３×（Ｆａ０）１／３×ｃｏｓ２α／ｓｉｎ１／３α ． （４）其中：Ｋｍ為材料系數；Ｚ 為滾動體個數；Ｄｂ
為滾動體直徑，ｍｍ；α為接觸角，（°）；Ｆａ０為預緊力，Ｎ。
圖３ 等效彈簧位置示意圖
１．４ 帶預應力的模態分析結果
按照已知的參數對主軸的有限元前處理進行設定，根據約束條件施加彈性約束，為了考慮轉子旋轉時離心應力的影響需要給主軸設定一個轉速，即帶預應力的結構模態分析。分析得到兩種結構主軸的前３階模態結果如表１、表２所示。
表１ 空心短軸的固有頻率和振型
表２ 長軸的固有頻率和振型
由表１和表２可知，長軸的臨界轉速遠小于空心短軸的臨界轉速。加工時的轉速在３ ０００ｒ／ｍｉｎ，空載轉速為３ ５００ｒ／ｍｉｎ，而長軸的低階臨界轉速是３１８０ｒ／ｍｉｎ和３ １９２ｒ／ｍｉｎ，由此可知，長軸加工時可能會發生較大振動，而短軸的臨界轉速遠大于實際轉速，避免了產生共振的可能。
２ 、主軸諧響應分析
諧響應分析是研究物體受到一定頻率范圍內激振力時產生的變形和應力變化情況，研究對象主軸所受到的約束條件與模態分析相同，施加載荷為６０Ｎ·ｍ的轉矩。分別以長軸和短軸前端一點進行位移變形的數據采集，采樣間隔４Ｈｚ，在轉矩載荷０Ｈｚ～８０Ｈｚ試驗區間均勻得到２０個采樣點。采樣頻率處的計算數據連接成如圖４、圖５所示的曲線，可以分析主軸在該頻率區間受載荷下的變形情況。
圖４ 主軸Ｘ 向變形
圖５ 主軸Ｙ 向變形
３、 結論
本文在模態分析過程中考慮了軸承的支撐剛度，并將主軸旋轉產生的離心應力作為預應力，求解得出所設計主軸的低階固有頻率和振型。對比結果顯示空心短軸的動力學特性比長軸的更好。本文還對其做了諧響應分析，結果表明在一定頻率變化的正弦力作用下空心短軸結構的受力變形更小，這也與模態分析的結果相吻合。
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