0 前言
結合部的動態特性參數是影響機床整機動力學性能的關鍵因素。根據統計，機床中出現的振動問題有60%以上是源自結合部[1]，因此，結合部動態特性參數分析一直是國內外學術界研究熱點。直線導軌已廣泛地應用于現代數控機床，圍繞其動態參數建模，國內外學者已做了大量的有益工作，其研究方法概括起來有三種:
① 試驗測試法。該方法主要通過錘擊試驗分別測定導軌豎直方向和水平方向的傳遞函數，再根據模態理論識別出兩個方向的剛度、阻尼系數，從而獲得直線導軌結合部的動力學參數[2-3]。也有學者將直線導軌整體結構離散為若干個子結構或子系統，通過試驗測試的方法得到各個子系統的剛度矩陣和阻尼矩陣，再將各個子結構的運動方程綜合起來，從而得到整個系統的運動方程和動力學特性[3-5]。② 理論計算法。該方法主要以結合部的基本特性參數為基礎，簡化結合部模型，求得結合部各處的剛度和阻尼，或者通過有限元分析方法，得到導軌結合部的特性參數[1，6-9]。③ 試驗測試與理論計算相結合方法。該方法首先通過試驗方法測試導軌結合部的動力學參數，然后再用有限元方法求解，為機床的動態設計提供一種有效的方法[10-13]。然而，上述研究工作存在兩方面問題：① 傳統直線導軌結合部模型，全部忽略了作為直線導軌必要部件——滾珠絲杠副對結合部動態特性參數的影響，因此，所建立的模型不能很好地描述直線導軌副的動態特性；② 試驗測試法需要搭建較為復雜試驗裝備，而有限元法建模較為繁瑣，且依賴于大型商用軟件。
本文以帶滾珠絲杠副直線導軌結合部為研究對象，借助于彈性力學中的赫茲接觸理論，分析計算直線滾動導軌的線剛度、滾珠絲杠副和角接觸滾動軸承的軸向剛度，建立帶滾珠絲杠副的機床直線導軌結合部的動力學模型。通過一款帶滾珠絲杠副的直線導軌結合部的立式加工中心的整機動態特性分析，驗證了提出的結合部動態特性模型的有效性和可行性。
1 結合部動力學建模
圖1 為數控機床典型的直線滾動導軌進給系統的結構示意圖，通過滾珠絲杠副和直線導軌副的組合來實現工作臺x 方向的進給運動。
圖2 為帶滾珠絲杠副的直線滾動導軌結合部的動力學模型，結合部的x 向剛度為滾珠絲杠副的軸向剛度，y 向剛度為直線滾動導軌的橫向剛度， z 向剛度為直線滾動導軌的垂向剛度，并且每個方向上的剛度值均由四組彈簧等價模擬。因此，只須計算出滾珠絲杠副的軸向剛度、直線滾動導軌的橫向剛度和垂向剛度，便可確定結合部的動態特性參數。
現假設如下所述。
(1) 忽略表面粗糙度對結合部剛度特性的影響。因為帶滾珠絲杠直線導軌結合部的接觸副均為高副，在預緊載荷或工作載荷的作用下，其接觸區彈性變形量可達到數個微米(一般在2～7 μm 之間)，遠遠大于滾道或滾珠的表面粗糙度(一般小于0.08μm)[14-15]。因此，在計算接觸剛度時，可不考慮表面粗糙度的影響，進而可忽略材料塑性變形的影響。
(2) 滾珠與滾道接觸時只產生彈性變形，并服從Hooke 定理。在正常情況下，帶滾珠絲杠直線導軌結合部各接觸副變形均在材料彈性范圍內，接觸點處產生的塑性變形量不超過滾動體直徑的萬分之一(遠小于接觸副彈性變形量)[16]。因此，滾珠與滾道接觸只考慮彈性變形的假設，在分析帶滾珠絲杠副直線導軌結合部剛度時是適宜的。
1.1 滾珠絲杠副軸向剛度的計算
滾珠絲杠副的軸向剛度kx 為與滾珠絲杠副相關聯的零部件剛度的串聯總和[17]，其中以絲杠、螺母組件和支承軸承的軸向剛度影響最大，其他零部件的影響較小，可忽略不計，其動力學模型如圖3所示。
顯然，進給絲杠傳動系統的軸向剛度kx 可表示為
式中 kx ——滾珠絲杠副軸向剛度
kS ——絲杠軸向剛度
kN ——螺母組件軸向剛度
kB ——支撐軸承軸向剛度
1.1.1 絲杠的軸向剛度
滾珠絲杠軸向剛度的計算，隨滾珠絲杠的支承方式不同而存在著差異。限于篇幅，本文只討論兩端固定支承結構方式(圖4)，這也是滾珠絲杠副最為常見的一種支承形式，并不失一般性。
可由材料力學得到其軸向剛度為[18]
式中 d ——絲杠的螺紋底徑
l ——載荷作用點至右端軸承的距離
E ——絲杠材料的縱向彈性模量
當螺母處于絲杠中間位置時，絲杠軸向剛度kS的值為最小，即
本文以絲杠的最小剛度kSmin 作為其軸向剛度值。
1.1.2 螺母組件軸向剛度的計算
螺母組件軸向剛度可由作用在螺母上的軸向載荷除以其軸向變形量求得，即
假設如下：① 負荷垂直于接觸表面，也就是說，接觸表面完全光滑，不計及滾珠與滾道面間的摩擦力；② 滾珠與滾道接觸面的尺寸與其曲率半徑相比是很小的；③ 考慮到滾珠絲杠副的工作轉速一般都較低，在分析過程中不考慮滾珠離心力和陀螺力矩的影響；④ 不考慮由于制造誤差所產生的影響，即軸向工作載荷均勻地分配給每個滾珠。在以上假設下，螺母組件的軸向變形量完全由滾珠與滾道面的彈性接觸變形所引起，可利用赫茲彈性接觸理論來進行理論計算。其計算過程主要可分為以下幾個步驟。
滾珠與螺母或絲杠滾道面的法向接觸變形量的計算。根據赫茲接觸理論，兩彈性體由于彈性變形引起的相對位移量(彈性接近量)為
滾珠與螺母滾道接觸點處的4 個主曲率分別為
當已知τ值便可通過查表得到J 和ma 的值[20]。至此，只要將J、ma 以及Σρ 和p 的值代入式(5)，即可得到δ 的值。
(2) 單個滾珠軸向變形量的計算。單個滾珠在法向接觸壓力p 作用下而產生彈性變形如圖5 所示，由滾珠法向彈性接觸變形所產生的法向彈性位移量
δp 為
δ p =δ1 +δ 2 (15)
(3) 單個滾珠法向接觸力的計算。雙螺母預緊結構(圖6)是滾珠絲杠最為常見的預緊方式，其螺母組件軸向剛度的計算方法如下。
假定滾珠絲杠副中螺母A上每個滾珠給予絲杠滾道面的法向作用力為pA，螺母B 上每個滾珠給予絲杠滾道面的法向作用力為pB，且預緊墊片通過螺母A、B 給予絲杠的預緊法向力為pP。則由絲杠靜力平衡可得
Fx − pA z sinα cosφ + pBz sinα cosφ = 0 (17)
在軸向載荷Fx 作用下，螺母A 相對絲杠所產生的軸向彈性接觸變形量δA 應恰好等于螺母B 相對于絲杠所產生的軸向彈性恢復量。
由力學疊加原理可知，作用于同一物體的合力所產生的變形，應等于各分力在同方向上所產生的變形量之和；又由赫茲接觸理論可知，兩彈性體的彈性趨近量與其法向壓力的2/3 次方成正比的關系，于是有
當已知Fx 和pP 時，可由式(17)和式(19)聯合求解得到pA 和pB 的值。
得到了單個滾珠的法向接觸力后，便可由式 (5)～(16)求得螺母A 相對于絲杠所產生的軸向變形量δA，也即軸向載荷Fx 沿軸向的位移量δN，并最終由式(4)獲得螺母組件的軸向剛度kN。
1.1.3 支承軸承的軸向剛度計算
試驗表明，軸承的變形量占整個傳動系統總變形量的50%以上[20]。本文以數控機床常用的一對角接觸球軸承，背對背安裝的結構為例(圖7)，進行軸承剛度計算。之前螺母組件軸向剛度計算的假設條件，仍然適用于軸承軸向剛度的計算，在此不再贅述。與螺母組件軸向剛度的計算過程類似，軸承軸向剛度的計算也可以分為三步。
(1) 利用式(5)～(14)計算滾珠與內圈或外圈滾道面的法向接觸變形量。
(2) 利用式(15)和式(16)計算單個滾珠的軸向變形量。
(3) 單個滾珠法向接觸力的計算。
假定各軸承中單個滾珠所受的法向接觸力分別為p1、p2、p3 和p4，顯然p1= p3，p2= p4。由于軸承預緊而使其單個滾珠承受的法向力為p0。軸承1、2 中滾珠的受力情況與雙螺母預緊結構中滾珠的受力情況類似(圖6)，而軸承3、4 的受力情況與軸承1、2 的受力情況完全一樣，所以由靜力平衡條件可得
2 p1nsinβ − p2nsinβ = Fx (20)
式中 n ——單個軸承中的滾珠數
β ——軸承中滾珠與滾道面的接觸角
同樣由力學疊加原理和赫茲接觸理論可得到
當已知n、β、Fx 和p0 時，可由式(20)和式(21)求得p1 和p2 的值。
得到了單個滾珠的法向接觸力后，由式(5)～ (16)可求得軸承外圈相對于軸承內圈的軸向位移量δB，最后由式(4)求得軸承的軸向剛度kB。
在運用式(5)～(16)時，應將絲杠的結構參數用軸承內圈的結構參數來替代，而將螺母的結構參數用軸承外圈的結構參數來替代，由于不涉及到滾珠絲杠副中螺紋升角φ 這一概念，須將公式中的φ 值設為零值。
通過以上的分析，分別得到了滾珠絲杠副中絲杠的軸向剛度kS，螺母組件的軸向剛度kN 和支承軸承的軸向剛度kB，可方便地由式(1)求得整個滾珠絲杠副系統的軸向剛度kx。
1.2 直線滾動導軌線剛度的計算
一般數控機床上的直線滾動導軌副都是由兩滑軌和四滑塊組成，因此只須計算單個滑塊的線剛度便可得到整個直線滾動導軌副的剛度。圖8為單個直線滾動導軌的結構示意圖及動力學模型圖。
以下分別計算單個直線滾動導軌的橫向(y 向)剛度和垂向(z 向)剛度。
1.2.1 垂向剛度的計算
如圖9 所示，當垂向力Fz 作用在滑塊上時，各列中單個滾珠的彈性力分別為F1、F2、F3 和F4，其中F1= F2 ，F3 =F4。γ 為滾珠與滾道面之間的接觸角。
由靜力平衡條件可以得到
2 (F1 − F3) msinγ = Fz (22)
由力學疊加原理和赫茲接觸理論可得到
式中 m ——單列滾道的接觸滾珠數
F0 ——由預壓載荷引起的單個滾珠的法向力
當已知m、γ 、Fz 和F0 時，可由式(22)、(23)求得F1 和F3 的值。已知單個滾珠所受法向力，參照圖5 所示的計算分析方法，便可求得滾珠的變形量，最后得到單個直線滾動軸承的垂向剛度kg，整個直線滾動導軌副由四個同樣的導軌單元并聯組成，因此總的垂向剛度kz＝4kg。
值得關注的是，由于直線滾動導軌的結構與滾珠絲杠、滾動軸承不同，滾珠與滾道面接觸處的四個主曲率中，ρ22 的值應取零。
1.2.2 橫向剛度的計算
直線滾動導軌橫向(y 向)剛度的計算方法與垂向剛度的計算方法相同，不再贅述。
通過以上分析計算，得到帶滾珠絲杠副的直線滾動導軌結合部空間三個相互垂直方向上的靜剛度，它們分別是滾珠絲杠副的軸向剛度kx，直線滾動導軌副的橫向剛度ky 和垂向剛度kz。這樣，便建立帶滾珠絲杠副導軌結合部的動態特性參數模型。
2 算例
2.1 基本參數
本文以一款立式加工中心為例，將本文建立的帶滾珠絲杠副直線滾動導軌模型，應用于加工中心動力學特性分析，驗證理論模型的有效性。表1～4列出了帶滾珠絲杠的直線滾動導軌副的幾何、物理參數。
2.2 結果與討論
2.2.1 工作載荷對剛度的影響
為揭示工作載荷對結合部剛度特性參數的影響規律，作者運用本文提出的計算方法，分析了結合部三個方向剛度與工作載荷的變化規律。圖10所示為結合部x 向剛度與其承受載荷的關系曲線。
查閱手冊，螺母組件的額定動載荷pc=52.7 kN，按照技術要求，工作載荷F 在0.2pc～0.3pc 范圍內變化。可以看出，結合部x 向剛度值隨著工作載荷的增大而略有上升，上升幅度在7%左右。
由于直線滾動導軌滾珠與滾道面的接觸角為45°，所以結合部z 向接觸剛度與工作載荷的關系與y 向相等。
以上分析揭示了工作載荷對結合部剛度特性參數的影響規律，在工作載荷允許的變化范圍內，剛度值的變化量一般為10%左右。
2.2.2 結合部動態參數應用
本文研究的立式加工中心為x、y、z 三軸聯動機床，帶滾珠絲杠副的直線滾動導軌結合部，分別位于立柱和銑頭、床身和床鞍、床鞍和工作臺之間 (圖12)。用彈簧單元模擬結合部接觸剛度，以靜止狀態(假定零工作載荷)為對象，經計算，可以得到此結合部x、y、z 三個方向上的剛度值分別是：
kx=0.419 7 MN/mm，ky=3.512 MN/mm，kz=3.512MN/mm。基于ANSYS 軟件，分析機床整機固有頻率特性，得到前四階固有頻率分別為85.75 Hz， 102.15 Hz，137.33 Hz，145.44 Hz，其振型如圖13所示。
表5 列出了結合部按照剛性連接簡化處理與運用本文理論模型的整機固有頻率特性比較。
可以看出，結合部動態參數的描述是影響機床整機動力學性能的重要因素，特別是對于高階固有頻率特性計算，影響更為明顯，因此，研究帶滾珠絲杠副直線滾動導軌接觸剛度動態模型，對機床整機動態特性分析與設計有重要意義。
3 結論
(1) 運用赫茲接觸理論，分析計算直線滾動導軌的線剛度、滾珠絲杠副和角接觸球軸承的軸向剛度，在此基礎上，建立了帶滾珠絲杠副機床直線導軌結合部的動態剛度特性模型，開發了通用計算軟件。
(2) 以一臺立式加工中心為對象，分析計算了結合部三個方向動態剛度隨工作載荷的變化規律，揭示了在工作載荷變化范圍內，結合部動態剛度的變化值一般小于10%。
(3) 考慮帶滾珠絲杠副的直線導軌結合部動態影響，分析計算了立式加工中心的整機動態特性，說明結合部動態參數是影響機床整機動力學性能的重要因素，特別是對于高階固有頻率影響更為明顯。研究表明：帶滾珠絲杠副的直線導軌結合部動態參數分析模型，具有物理概念清晰、計算簡單等特點。
如果您有機床行業、企業相關新聞稿件發表，或進行資訊合作，歡迎聯系本網編輯部， 郵箱：skjcsc@vip.sina.com
