基于全微分模型的打磨機械臂靜態誤差分析
2017-1-3 來源： 東北大學機械工程及自動化學院 作者：張秀珩 柳洪義 巴鵬
摘要： 針對打磨機械臂系統的精度設計問題的解決， 基于ＤＨ 模型建立了機械臂的運動學參數模型， 并基于全微分法建立了運動學參數誤差與末端誤差的數學關系。對機械臂可能出現的誤差源進行分析， 歸納誤差源的類型， 代入誤差模型分別進行仿真， 并對結構誤差與傳動誤差對機械臂末端位置的影響進行比較。結果表明： 傳動誤差對Ｘ、Ｙ 向的位置影響較大， 而結構誤差對Ｚ 軸的影響較大， 這些信息可用于對實際機械臂參數誤差的回歸分析， 為在機械臂設計及制造階段、機械臂的制造及裝配誤差預計及優化提供數據參考。
關鍵詞： 打磨機械臂； 全微分； 靜態誤差； 誤差分析
0.前言
大多數的工業用機械臂， 其末端執行器的位姿精度是衡量其工作性能的重要指標。對機械臂進行運動學標定是目前提高機械臂靜態精度最有效的方法， 最普遍的做法是首先建立機械臂的正運動學模型， 既而建立相關的位姿誤差模型， 通過識別機械臂末端位姿與各運動學參數之間的關系來實現誤差優化， 從而達到提高位姿精度的目的。在實際應用中， 該方法可大幅提高機械臂的靜態精度， 但由于各種機械臂在結構和功能上的差別， 其各單項原始輸入誤差對末端位姿誤差的影響必然不同［１］ ， 所以對影響位姿誤差的誤差源的分析及在設計階段對機械結構的改進也尤為重要。
影響機械臂靜態誤差的因素主要有幾何誤差（靜態誤差）、因動態載荷及機體振動引起的動態誤差、因溫度影響引起的誤差及環境、控制系統和算法誤差［２］ 。ＩＭＯＴＯ Ｊ 等［３］ 研究了幾何誤差、溫度變化等因素對機械臂定位精度的影響。ＳＡＮＴＯＬＡＲＩＡ Ｊ 等［４］為優化機械臂運動學標定條件， 基于輸出姿勢誤差和測量誤差的線性關系， 給出一種在標定后用于估計輸出姿態誤差和誤差評價指標的方法。ＺＨＵＡＮＧ Ｈ等［５］ 基于Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ 方法， 提出在機械臂標定過程中采用圓點分析法評估標定標定結果的不確定性。在機械臂標定方法的研究發展了多種測量方法， 如ＨＯＬＬＥＲＢＡＣＨ Ｊ Ｍ 等［６］ 通過在機械臂末端執行器上加運動約束， 使機械臂末端保持固定的閉環標定方法。ＩＫＩＴＳ Ｍ 等［７］ 通過確定機械臂的各關節軸線位置， 解析各旋轉軸之間的代數關系并確定運動學參數。ＫＨＡＬＩＬ Ｗ 等［８］ 采用極坐標法研究多約束激光跟蹤系統運動目標標定。
本文作者根據實際工程項目需求， 對課題組研制開發的發動機絕熱層機械打磨機械臂的靜態精度進行研究， 為保證打磨精度， 首先對機械臂的靜態精度有重要影響的因素進行分析， 確定靜態誤差的靈敏度， 再針對機械臂的末端位置及姿態精度進行標定。
1.打磨機械臂運動學建模
為獲得打磨機械臂運動學模型， 采用Ｄ－Ｈ 方法建模。根據機械臂的機械構型， 對機械臂主體部分進行簡化， 選取本體質心處， 建立基坐標系ＳＢ ， 大臂底座中心建立坐標系Ｓ１ ， 并依次建立各關節坐標系和末端坐標系Ｓ ｅ 。關節１、２、３對應的變量分別記為ｄ ， θ２， θ３，桿件１ 、 ２、 ３ 的長度分別記為 ｌ、１ ｌ ２、 ｌ３。用Ｄ－Ｈ （Ｄｅｎａｖｔ－Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ） 法建立各坐標系模型。根據文中所研究的打磨機械臂幾何結構及運動參數分別如圖１ 和表１ 所示。
圖１ 機械臂各關節的運動學參數及坐標系
表１ Ｄ－Ｈ 參數表
根據表１ 所示機械臂參數可確定運動學模型如下：
2.打磨機械臂誤差建模
采用全微分的方法對式（１） 進行微分， 即可得到
為了描述末端位姿誤差與各幾何誤差源之間的關系， 采用矩陣的形式建立串聯機構的幾何誤差模型為：
3.打磨機械臂靜態誤差分析
為完成機械臂標定并正確評價機械臂的性能， 誤差模型的建立首先應從了解其誤差源入手。當忽略控制算法誤差的影響后， 根據誤差的性質和來源來看，主要包括靜態誤差和動態誤差。其中靜態誤差包括由于機械臂本體的制造和裝配過程中產生的幾何參數誤差， 還有因環境（如溫度）、傳動誤差及因重力等引起的變形誤差， 與幾何參數誤差相比， 這部分誤差所占比重較小。動態誤差主要指機械臂在工作過程中因力矩、摩擦力、振動等原因隨時間變化的誤差。在這諸多的影響因素中， 幾何參數誤差是影響機械臂精度的最重要的因素， 因此主要針對這一誤差加以分析。
在影響機器人末端執行器精度的主要因素中， 重點考慮結構誤差、傳動誤差、關節間隙與連桿機構的撓性。對于旋轉關節， 隨著旋轉角的增大， 關節的旋轉誤差將累積增大， 而對本機器人來說由于其移動關節的采用直線導軌結構且運動量程較長， 所以其直線度誤差不容忽視。因此在選擇誤差項時根據機器人的本體結構， 確定各連桿的長度誤差、直線度誤差、旋轉關節的垂直度誤差及各關節的運動參數誤差作為主要誤差源， 其誤差項的取值及極限范圍如下：
對本機械臂來說， 其末端的位置精度是影響其工作性能的主要因素， 所以這里僅對機器人的末端位置誤差進行分析， 機械臂在實際工況中執行兩個動作，一個是僅大臂直線的移動動作； 一個是３ 個關節都運動的曲線動作， 針對各單項誤差分別對兩種動作時的誤差進行仿真， 可得到關節誤差、結構誤差與末端位置誤差的關系曲線如圖２—７ 所示。（１） 當僅考慮連桿長度誤差時， 軌跡１ 和軌跡２的末端誤差與連桿長度誤差之間的關系如圖２ 和３所示。
圖２ 沿軌跡１ 運動時末端的位置誤差分布
圖３ 沿軌跡２ 運動時末端的位置誤差分布
由圖可以看出， 對軌跡１， 當僅移動關節運動時， 連桿誤差僅對末端Ｘ 軸方向位置精度有影響，且ｘｅ ＝０．３ ｍｍ； 對軌跡２ 來說， 因３ 個關節的共同運動產生的末端位置在Ｘ 和Ｙ ２ 個方向的位置精度都有影響， 從變化規律上看２ 個方向的誤差變化相似，但在Ｘ 軸正向的影響明顯較大， 均值約為０．２５ ｍｍ。
（２） 當僅考慮因結構參數誤差因素時， 軌跡１與軌跡２ 的末端位置誤差表現如圖４ 和５ 所示。
圖４ 沿軌跡１ 運動時末端的位置誤差分布
圖５ 沿軌跡２ 運動時末端的位置誤差分布
由圖可以看出， 當僅考慮幾何誤差（形狀與位置誤差） 時， 對軌跡１， 末端位置在Ｙ 軸方向位置誤差隨移動關節的運動而逐漸變大， Ｘ、Ｚ 軸誤差則較小； 對第二段軌跡來說， 末端位置在３ 個方向的誤差都較大， 其中在Ｚ 向的誤差均值為０．６ ｍｍ， 且誤差呈周期性變化， Ｘ 和Ｙ 向的誤差較小， 誤差均值為０．３ ｍｍ 左右。
（３） 僅考慮關節傳動誤差時， 末端位置精度與關節角誤差之間的關系如圖６ 和７ 所示。
圖６ 末端位置誤差與移動關節誤差的分布關系
圖７ 末端位置誤差與轉動關節誤差的分布關系
由圖６ 可知， 僅考慮移動關節的傳動誤差時， 末端僅在Ｘ 向有誤差， 由于傳動誤差被定義為均勻分布， 所以該誤差大小與關節位移呈正比例， 在規定時間內的位置誤差最大為０．０２ ｍｍ； 由７ 圖可知， 當僅考慮關節角誤差時， 在Ｘ 和Ｙ 向的末端位置均有誤差，且隨關節角的增加， 誤差呈周期性變化， 均值在０．２ｍｍ 左右。
為了分析結構誤差和傳動誤差對機械臂末端的綜合影響， 分別令傳動誤差不變， 分析結構誤差對機械臂末端的位置誤差的影響， 再令結構誤差不變， 分析傳動誤差對機械臂末端的位置影響。由上圖可知， 機械臂的關節傳動誤差在Ｘ、Ｙ 方向對末端位置的影響較大， 且呈周期性變化， 而因幾何誤差造成的結構誤差則對Ｚ 向的位置造成影響， 隨著誤差的變大， 末端位置誤差也增大， 成正比例關系， 這是由于末考慮誤差分布的影響。綜合來看， 轉角誤差引起的傳動誤差對末端的影響要小于結構誤差的影響， 因此在誤差補償時應多考慮Ｚ 軸的誤差， 這是由機械臂的結構所決定的。同時根據以上結果， 在機械臂的精度設計時也應重要關注Ｚ 向尺寸鏈的誤差控制。
4.結論
（１） 采用ＤＨ 模型法建立打磨機械臂的運動學參數模型， 并基于全微分法建立了運動學參數誤差與末端誤差的數學關系， 為后面進行誤差分析打好基礎。
（２） 對機械臂可能出現的誤差源進行分析， 歸納誤差源的類型， 代入誤差模型進行仿真， 得出結構誤差與傳動誤差對機械臂末端位置的影響， 并根據仿真結果對誤差變化對末端位置的影響進行分析， 這些信息可用于對實際機械臂參數誤差的回歸分析， 為在機械臂設計及制造階段， 機械臂的制造及裝配誤差預計及優化提供數據參考。
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