機床無刷直流電機系統的分岔分析與控制*
2016-9-6 來源：東北電力大學理學院 作者：張中華 付景超 鄧冠男
摘要：文章主要研究了機床無刷直流電機系統的Hopf 分岔控制問題． 首先，對系統進行分岔分析，通過計算極限環曲率系數判定系統的Hopf 分岔類型; 然后設計Washout 濾波器對系統進行分岔控制，根據Hopf 分岔理論給出使原系統Hopf 分岔位置發生改變的參數條件，利用Normal Form 方法計算出受控系統的Hopf 分岔正規型，根據正規型的實部大小判定Hopf 分岔類型，給出使原系統Hopf 分岔類型發生改變的參數條件; 并借助MATLAB 軟件對理論結果進行數值仿真，理論結果和數值仿真表明: 控制器中的線性增益能使系統在所期望的參數值處發生Hopf 分岔，甚至消除Hopf 分岔，控制器中的非線性增益能改變原系統的Hopf 分岔類型及極限環幅值的大小． 研究結果對無刷直流電動機系統的工程實際具有一定的指導意義．
關鍵詞：Hopf 分岔， 分岔控制， Washout 濾波器， 無刷直流電機
0、引言
無刷直流電動機系統是集永磁同步電機、位置檢測元件和驅動控制電路于一體的機電一體化產品，它既具備交流電動機結構簡單、運行可靠、維護方便等一系列優點，又具備直流電動機運行效率高、無勵磁損耗等優點，在伺服和驅動系統中得到廣泛應用． 但在實際運行當中，在一定的參數條件下，系統會出現分岔行為，進而導致混沌運動，表現為電流波形出現不規則的電流噪聲，電機轉速忽大忽小，隨機波動，電機運行性能不穩定等． 這種混沌現象在機床，特別是在精密機床的傳動系統中是不允許出現的，因此對直流電機系統分岔、混沌及其控制方面的研究一直備受關注． 但到目前為止，大部分文獻主要集中研究非線性動力系統的分岔行為及混沌控制問題［1 － 2］． 文獻［3］建立了無刷直流電機的等效無量綱模型，分析了模型解的穩定性情況． 文獻［4］在此基礎上進一步研究了無刷直流電機的Hopf 分岔行為和混沌現象，但沒有進行這方面的控制． 文獻［5 － 7］在文獻［3 － 4］的基礎上分別采用不同的方法對無刷直流電機的混沌現象進行控制，從而保證了電機運行性能的穩定性． 但對系統的分岔控制沒有研究，分岔是導致混沌產生的一種途徑，對系統進行分岔控制有時可避免混沌的產生，進而減少混沌對系統造成的危害． 文獻［8 －10］利用這種方法對混沌系統進行了分岔控制．
基于上述原因，本文在文獻［4］和文獻［7］的基礎上，對無刷直流電機系統的等效非線性數學模型進行研究，首先討論系統的Hopf 分岔類型，然后設計washout 濾波器對系統的Hopf 分岔行為進行控制，進而控制混沌的產生，保證電機運行性能穩定性． 主要利用Hopf 分岔理論及Normal Form 直接方法，給出原系統Hopf 分岔點提前、延遲或消失應滿足的參數條件和原系統Hopf 分岔類型發生改變應滿足的參數條件，并借助MATLAB 軟件對理論結果進行數值仿真，分別給出控制前、控制后的分岔圖以及分岔周期解振幅( 極限環幅值) 隨參數變化的曲線圖． 通過理論及仿真結果說明控制器的有效性．
1、系統分岔分析
在轉子磁場定向坐標系( d － q) 中，由電壓平衡方程和轉矩平衡方程可得無刷直流電機狀態方程為［2］
圖1 σ = 4，ρ = 10，系統( 2) 波形圖
圖2 σ = 4，ρ = 16 時，系統( 2) 分岔圖
2、系統Hopf 分岔控制
取σ = 4，用washout 濾波器控制的等效無刷直流電機受控系統如下
x1為washout 濾波器的輸入變量，c 為濾波器時間常數，c ＞ 0 時，為穩定的washout 濾波器，c ＜ 0 時，為不穩定的washout 濾波器，現取控制器
2． 1 線性控制部分對Hopf 分岔的影響
圖3 k1 = － 1，ρ = 16 時，系統( 8) 波形圖
圖4 k1 = － 0． 1，ρ = 18． 3368 時，系統( 8) 分岔圖
圖5 k1 = － 0． 1，ρ = 18． 3368 時，系統( 8) 波形圖
圖6 k1 = 0． 1 時，ρ = 13． 9238 時，系統( 8) 分岔圖
2． 2 非線性控制部分對Hopf 分岔的影響
當取c = 1，k1 = － 0． 1 時，ρ = 18． 3368． 方程( 10) 中的線性和非線性部分分別為
圖7 當ρ = 18． 3368，k1 = -0． 1，k2 = -1． 5 時，系統⑻極限環
根據Hopf 分岔理論知，當Ｒe( C) ＜0，即k2 ＜ － 0． 347時，系統( 8) 在ρ =16 處發生超臨界Hopf 分岔，即原系統Hopf 分岔類型被改變，不穩定極限環變為穩定極限環，如圖7 －8 所示． 取k1 = －0． 1，將λ 看成分岔參數ρ 的函數，方程( 11) 兩邊同時對ρ 求導，得
計算得
α'( 0) = Ｒe( λ'( ρ) ) | ρ = 18． 3368，λ = 4． 4768i =0． 0445 ＞0所以，當Ｒe( C) ＜0 時，Hopf 分岔方向為ρ ＞16，如圖9 所示; 受控系統的極限環幅控關系如圖10 所示． 從圖7，圖8 及圖10 中可知，控制器的非線性部分能改變原系統的Hopf 分岔類型，并且分岔極限環幅值隨著非線性控制參數的增大而增大，成正比關系．
圖8 當ρ = 18． 3368，k1 = -0． 1，k2 = -0． 1 時，系統⑻極限環
圖9 k1 = -0． 1，k2 = -0． 06 時，系統⑻分岔圖
圖10 系統⑻的限極環幅值曲線ρ = 18
3、結論
文章主要研究了機床無刷直流電機系統的Hopf 分岔控制問題． 首先，研究了系統的分岔行為并判定系統的Hopf 分岔類型; 然后設計Washout濾波器對系統進行分岔控制，討論了控制參數對Hopf 分岔點位置，分岔類型以及極限環幅值的影響; 并借助MATLAB 軟件對理論結果進行數值仿真，理論結果和數值仿真表明: 線性控制參數能使系統在所期望的參數值處發生Hopf 分岔，甚至消除Hopf 分岔，非線性控制參數能改變原系統的分岔類型，使不穩定極限環變為穩定極限環，并能改變極限環幅值大小． 研究結果對無刷直流電動機系統的工程實際具有一定的指導意義．
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如果您有機床行業、企業相關新聞稿件發表，或進行資訊合作，歡迎聯系本網編輯部， 郵箱：skjcsc@vip.sina.com
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