摘要: 從自動化車床連續加工某種零件的故障檢測問題出發，探究了檢測方法與刀具更新對于生產附加成本的關系。建立了有更新點的檢查維護和預防性刀具更新的檢測優化模型; 給出了自動化車床刀具檢測優化模型研究檢查成本、不合格零件損失期望和包含故障維護費用與刀具定期更換費用的總維護費用的期望的計算方法; 得到了以一定檢測間隔、預防性刀具更換周期為自變量的平均生產附加成本函數，取得了較優定期檢測間隔和定期刀具更換間隔; 運用蒙特卡洛隨機仿真的方法，進行了仿真模擬，檢驗了模型結果的優越性。
 
     關鍵詞: 刀具; 更換策略; 檢測間隔; 條件概率; 蒙特卡洛模擬

      0 引言
 
     可靠性及維修性策略問題一直受到人們的廣泛關注和研究，通過設計系統可靠性及維修性策略，可提高重要產品和復雜工業系統的可靠性和可用性，降低生產成本。自動化車床管理是一個比較復雜的研究課題之一，要保持工序的正常運行，需要經常對工序進行檢查。檢查周期長，可以減少檢查費用，但由于不能及時發現故障會給生產帶來損失; 檢查周期短，雖然能夠及時發現故障少出不合格品，但檢查費用高，因此，須找出最佳的檢查周期使得工序運行單位時間內的平均損失達到最小。
 
     由于自動化車床運行中產生次品的故障主要為刀具故障，其它故障為小概率事件［1-2］，所以，在只考慮刀具故障的前提下，通過概率論和更新過程理論，建立以單位時間內期望費用為目標函數的數學模型，以檢測間隔和刀具更換時刻為策略，確定最優的策略使得工序長期運行單位時間內期望費用達到最小。我們通過模型化的方法及一定的數學手段來求出較優定期檢測間隔和定期刀具更換間隔，并尋求是否有更好的檢測策略。
 
      1 、問題的基本假設
 
     用自動化車床連續加工某種零件，刀具損壞是出現故障的主要原因。現記錄了100 次故障出現時刀具完成的零件數，如表1 所示。
 
     問題1: 假設故障時產出均為不合格的零件，正常時產出均為合格的零件，設計效益最好的檢查間隔( 生產多少零件檢查一次) 和刀具更換策略。問題2: 如果正常時產出不全是合格的零件，有2%的不合格率; 而故障時產出的零件有40% 為合格率， 60%為不合格率。設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。
 
     問題的基本假設如下:
 
     ( 1) 假設生產每個零件時工序出現故障是完全隨機的，且故障完全隨機。
     ( 2) 假設生產每個零件時刀具故障僅與刀具壽命有關。
     ( 3) 假設僅能通過檢測零件來判斷是否出現故障，即故障必須在檢查點才能被發現，且無法單純從一次檢驗判斷該故障是刀具損壞故障還是其他故障。
     ( 4) 假設檢測零件過程不會出錯，即對零件本身的不合格檢測沒有誤判。
     ( 5) 假設無論是95% 的刀具損壞故障還是5% 的其他故障，發生故障并使其恢復正常的平均費用均為3000 元/次( 包括刀具費用) 。每次恢復正常的過程都
進行刀具更新操作。
     ( 6) 假設問題2 中工序正常時誤判為有故障停機產生的費用( 1500 /次) 已包含刀具更換費用，即刀具在誤判時被更新。零件時才進行調整，即檢查次數的增多不會有更多
誤工損失。
 
 
                        表1 100 次刀具故障記錄( 完成零件數)

     2 、問題分析
   
     自動化車床連續加工零件過程中會產生故障，故障后會導致不合格零件產生。通過定期檢測零件來檢測故障與維修，通過定期更換刀具預防工序故障。過長的檢查周期會導致故障不能及時被發現，大量不合格零件被生產，造成損失。過短的檢查周期又會造成檢查成本過高。類似的，過長的刀具更換周期無法起到很好的預防故障效果，過短的刀具更換周期又會使成本急劇上升。因此，兩個關鍵變量需要統籌兼顧，綜合考慮。
   
     此外，問題1 與問題2 需要分別進行分析。問題1 假定工序故障是產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品。則通過零件合格與否來判斷工序故障為完全準確。
 
     問題2 該工序正常時產出的零件不全是合格品，有2%為不合格品; 而工序故障時產出的零件有40%為合格品， 60% 為不合格品。則通過零件合格與否來判斷工序故障存在誤判風險，需要對誤判進行條件概率的計算以準確算出附加成本期望。
 
     綜上所述，該題要解決的是一個以單位附加成本最低為目標，檢查間隔和換刀間隔為自變量的優化問題［4-5］。

      3 、模型的建立
 
     3． 1 數據處理及故障間隔函數的確定
 
     根據給出的100 個刀具故障記錄，采用Matlab 軟件進行數據處理，得到散點擬合圖，如圖1 所示。

                          圖1 刀具故障記錄散點擬合圖
 
     由圖1 可知刀具壽命近似服從正態分布。可假設X 的概率密度函數為

     因此，在顯著性水平α = 0． 05 下接受總體服從正態分布。根據基本假設，非刀具故障，即其他故障在生產每個零件時的故障概率相同。因此，可得每個零件非刀具故障的概率p 為

     3． 2 基本模型的建立
 
     通過對問題的分析可知，該問題是一個單目標優化問題，其目標函數為零件的平均附加成本F，F 的值越小則方案越優。下面我們就零件平均成本的影響因素進行分析，并建立相應的基本數學模型。
 
     不難發現，整個生產附加成本由三部分組成，即檢查費用，不合格零件損失費用以及維護成本，其中維護成本又包含發現故障后的調整成本和定期換刀的預防成本。附加成本示意圖，如圖2 所示。

                            圖2 附加成本示意圖
  
     3． 2． 1 檢查過程
 
     由基本假設可知，檢查是通過對零件是否合格的檢查來判斷，設檢查過程是等間隔進行的，間隔為N。顯而易見，檢查費用= 檢驗次數× 單次費用，設共生產M 個零件，即有檢驗費用Et

     左右兩個節點表示兩節點間整段生產過程情況。兩節點之間的區域稱之為一個區間。
   
      3． 2． 2 不合格零件損失費用
   
     由于檢測方式是由零件是否合格來判斷，則若某檢查點發現零件不合格，則工序故障必定在兩個檢查點之間。但由于問題2 中存在著工序狀況與零件狀況不完全一致的概率，因而，問題1 和問題2 的不合格零件損失費用需分別考慮。
 
     問題1: 工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品。則若第k 次檢查出現了不合格品，那么工序故障必定發生在第( k － 1) 次檢查和第k 次檢查之間，即第( k － 1) n 個零件和第kn 個零件之間，如圖3 所示。

      
                        圖3 產生故障情況示意圖
   
     將這兩個檢查點之間的區間放大，可知共有n 個點可能發生工序故障。可以求得不合格零件損失費用Ef。

     問題2: 如果該工序正常生產零件不全是合格品，有2%為不合格品; 工序故障時產出零件有40% 的合格品。因此，當第k 次檢查檢查到不合格時，除去工序正常的誤判，工序故障的產生區間可能有不同的情況，除問題1 所示情況外，可能發生如圖4 所示的情況。

       
                             圖4 可能產生故障情況
   
     因此，不合格零件損失費用期望的計算需要進行改進，即

      不合格零件由工序故障下產生次品和工序正常下產生次品兩部分構成。其中工序故障下產生次品的概率不再是通過問題1 中簡單的工序故障區間進行計算，故障產生區間存在條件概率［6-9］。‘
 
     工序故障記為FG，工序正常記為SG，檢查到次品FP，檢查到合格品SP。
 
     據貝葉斯公式，有

     3． 2． 3 維護成本
   
     維護成本是整個附加成本計算中的重要一環。維護成本包括兩個方面，分別為發生故障時調整設備產生的費用及預防性更換刀具所產生的費用。在問題2中，由于認定工序故障存在誤判，所以維護成本中還需加入工序正常而誤認為有故障停機的損失。
 
     基于以上討論，維護費用期望值

     
  
     其中Ek為預防性換刀的費用期望，Ed為出故障調節的費用期望，Er為誤判停機費用期望( 對于問題一，Er = 0) 。該式中Pwrang為條件概率，由計算可知

     
  
     因此，節點換刀概率的遞推關系式為:
  
     
  
     其中P( λ ＞ λf) 是指此次( 換刀后第一次檢查行動) 判定為故障的概率。
 
     檢查過程的流程示意圖，如圖5 所示。

      
                           圖5 檢查過程的流程示意圖
   

      4 、結果分析
 
      4． 1 模型結果
 
     通過用Matlab 軟件對以上算法進行計算機的算法實現，得到了問題1 的結果，如圖6 所示，檢查間隔18，檢查次數19，即預防性換刀周期為342，附加成本4． 890; 問題2 的結果，如圖7 所示，檢查間隔36，檢查次數13，即預防性換刀周期為468，附加成本9． 536。

                               圖6 問題1 計算結果
   
  

                           圖7 問題2 計算結果

      從這兩個結果發現，雖然問題2 中的檢查間隔變長，即檢查次數變少，但由于誤判的產生，多出了誤判成本，因而，單位附加成本顯著高于問題1 中的單位附加成本。
 
      4． 2 仿真模擬
   
     為了檢測算法的可行性，使用蒙特卡洛方法對問題一的算法進行仿真模擬［10-11］，過程如下:
   
      ( 1) 給定換刀間隔T，檢查間隔N，以及生產零件個數M;
      ( 2) 設置連續不換刀生產的零件數S，已生產的零件個數F，生產損失和維護Y;
      ( 3) 從第一個零件開始，產生一個隨機數，檢測是否滿足先前擬合出來的概率，如果滿足，則將其之后一直到下一個檢查點的零件( 包括檢查點) 全部記為次品，并計算損失，計入Y; 如果不滿足，則進入下一個零件的生產。
      ( 4) 對于第K 個零件，產生隨機數，檢測是否滿足之前擬合出來的概率，如果滿足，就將第K 個到K 之后距離最近的檢查點之間的所有零件( 包括檢查點)記為次品，計算次品損失計入Y，然后在該檢查點處更換刀，將換刀損失計入Y; 如果不滿足，計入下一個零件生產，并令連續不換刀生產的零件數S = S + 1。將生產零件個數計入F;
      ( 5) 在檢查點處，如果發現連續不換刀生產的零件數S 大于T，則直接不檢查，然后換刀，將換刀成本計入Y;
      ( 6) F 大于M 時，停止生產，輸出對應的T，N 所產生的費用Y;
      ( 7) 取其它的T，N 值，進行同樣的過程。對所有的Y 值進行比較。

      取預防性換刀周期與檢查間隔為: ( 350，14 ) ，( 342， 18) ，( 396， 22) ，( 416，26) ，( 342，18) ，( 396，22)仿真模擬對比結果，如圖8 所示。

                               圖8 仿真模擬結果
     
     由圖8 可知，在給定的較優間隔處，附加成本在較低成本4． 95 附近，符合之前所設的概率規律。并且得到表2 所示的仿真對比表。仿真模擬的結果證明了算法是具有可行性。
 
 
                                         表2 仿真對比表

        
  
  
      5 、結論
   
      本文依據概率統計知識，建立了有更新點的檢查維護和預防性刀具更新的初等概率模型，給出了檢查成本、不合格零件損失期望和包含故障維護費用與刀具定期更換費用的總維護費用的期望的計算方法，得到了以一定檢測間隔、預防性刀具更換周期為自變量的平均生產附加成本函數。運用Matlab 計算，得到最優解。運用蒙特卡洛隨機仿真的方法，進行了仿真模擬，檢驗了模型結果的優越性。